已知sinα
下面的sin2a cos2a是指sina的平方 和 cosa的平方...
sinα-cosα=-√5／2,因为sin2a+cos2a=1
则（sinα-cosα）2=sin2a+cos2a-2sina*cosa=5／4
所以sina*cosa=-1／8,则tanα+cotα=sina／cosa+cosa／sina=(sin2a+cos2a)/cosa*sina=1/cosa*sina=-8
预期理论是如何解释利率的期限结构的如果1年期的证...
预期理论：预期理论提出了以下命题：长期债券的利率等于在其有效期内人们所预期的短期利率的平均值。
这一理论关键的假定是，债券投资者对于不同到期期限的债券没有特别的偏好，因此如果某债券的预期回报率低于到期期限不同的其他债券，投资者就不会持有这种债券。具有这种特点的债券被称为完全替代品。在实践中，这意味着如果不同期限的债券是完全替代品，这些债券的预期回报率必须相等。
预期理论可以解释事实
1.随着时间的推移，不同到期期限的债券利率有同向运动的趋势。从历史上看，短期利率具有如果它在今天上升，则未来将趋于更高的特征。
2.如果短期利率较低，收益率曲线倾向与向上倾斜，如果短期利率较高，收益率曲线通常是翻转的。
预期理论有着致命的缺陷，它无法解释事实3，即收益率曲线通常是向上倾斜的。
分割市场理论：分割市场理论将不同到期期限的债券市场看做完全独立和相互分割的。到期期限不同的每种债券的利率取决于该债券的供给与需求，其他到期期限的债券的预期回报率对此毫无影响。关键假定：不同到期期限的债券根本无法相互替代。
该理论认为，由于存在法律、偏好或其他因素的限制，投资者和债券的发行者都不能无成本地实现资金在不同期限的证券之间的自由转移。因此，证券市场并不是一个统一的无差别的市场，而是分别存在着短期市场、中期市场和长期市场。
不同市场上的利率分别由各市场的供给需求决定。当长期债券供给曲线与需求曲线的交点高于短期债券供给曲线和需求曲线的交点时，债券的收益率曲线向上倾斜；相反，则相反。
流动性溢价理论：流动性溢价理论是预期理论与分割市场理论结合的产物。它认为长期债权的利率应当等于 长期债权到期之前预期短期利率的平均值 与 随债券供求状况变动而变动的流动性溢价之和。流动性溢价理论关键性的假设是，不同到期期限的债券是可以相互替代的，这意味着某一债券的预期回报率的确会影响其他到期期限债券的预期回报率，但是，该理论承认投资者对不同期限债券的偏好。换句话讲，不同到期期限的债券可以相互替代，但并非完全替代品。
期限优先理论：采取了较为间接地方法来修正预期理论，但得到的结论是相同的。它假定投资者对某种到期期限的债券有着特别的偏好，即更愿意投资于这种期限的债券。 利率的期限结构理论说明为什么各种不同的国债即期利率会有差别，而且这种差别会随期限的长短而变化。
预期假说
预期假说：利率期限结构的预期假说首先由欧文·费歇尔(Irving Fisher)(1896年)提出，是最古老的期限结构理论。
预期理论认为，长期债券的现期利率是短期债券的预期利率的函数，长期利率与短期利率之间的关系取决于现期短期利率与未来预期短期利率之间的关系。如果以Et(r(s))表示时刻t对未来时刻的即期利率的预期，那么预期理论的到期收益可以表达为：如果预期的未来短期债券利率与现期短期债券利率相等，那么长期债券的利率就与短期债券的利率相等，收益率曲线是一条水平线；如果预期的未来短期债券利率上升，那么长期债券的利率必然高于现期短期债券的利率，收益率曲线是向上倾斜的曲线；如果预期的短期债券利率下降，则债券的期限越长，利率越低，收益率曲线就向下倾斜。
这一理论最主要的缺陷是严格地假定人们对未来短期债券的利率具有确定的预期；其次，该理论还假定，资金在长期资金市场和短期资金市场之间的流动是完全自由的。这两个假定都过于理想化，与金融市场的实际差距太远。
分割理论
市场分割理论：预期假说对不同期限债券的利率之所以不同的原因提供了一种解释。但预期理论有一个基本的假定是对未来债券利率的预期是确定的。如果对未来债券利率的预期是不确定的，那么预期假说也就不再成立。只要未来债券的利率预期不确定，各种不同期限的债券就不可能完全相互替代，资金也不可能在长短期债券市场之间自由流动。
市场分割理论认为，债券市场可分为期限不同的互不相关的市场，各有自己独立的市场均衡，长期借贷活动决定了长期债券利率，而短期交易决定了独立于长期债券的短期利率。根据这种理论，利率的期限结构是由不同市场的均衡利率决定的。市场分割理论最大的缺陷正是在于它旗帜鲜明地宣称，不同期限的债券市场是互不相关的。因为它无法解释不同期限债券的利率所体现的同步波动现象，也无法解释长期债券市场的利率随着短期债券市场利率波动呈现的明显有规律性的变化。
偏好假说
流动性偏好假说：凯恩斯首先提出了不同期限债券的风险程度与利率结构的关系，希克斯在凯恩斯的基础上较为完整了流动性偏好理论。
根据流动性偏好理论，不同期限的债券之间存在一定的替代性，这意味着一种债券的预期收益确实可以影响不同期限债券的收益。但是不同期限的债券并非是完全可替代的，因为投资者对不同期限的债券具有不同的偏好。范·霍恩(Van Home)认为，远期利率除了包括预期信息之外，还包括了风险因素，它可能是对流动性的补偿。影响短期债券被扣除补偿的因素包括：不同期限债券的可获得程度及投资者对流动性的偏好程度。在债券定价中，流动性偏好导致了价格的差别。
这一理论假定，大多数投资者偏好持有短期证券。为了吸引投资者持有期限较长的债券，必须向他们支付流动性补偿，而且流动性补偿随着时间的延长而增加，因此，实际观察到的收益率曲线总是要比预期假说所预计的高。这一理论还假定投资者是风险厌恶者，他只有在获得补偿后才会进行风险投资，即使投资者预期短期利率保持不变，收益曲线也是向上倾斜的。如果R(t，T)是时刻T到期的债券的到期收益，Et(r(s))是时刻t对未来时刻即期利率的预期，L(s，T)是时刻T到期的债券在时刻s的瞬时期限溢价，那么按照预期理论和流动性偏好理论，到期收益率为：
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从利率期限结构的三种理论来看，利率期限结构的形成主要是由对未来利率变化方向的预期决定的。
结构模型
利率期限结构模型按模型中包含的随机因子的个数可分为单因子模型和多因子模型。
单因子模型中只含有一个随机因子，意味着收益曲线上各点的随机因子完全相关。多因子期限结构模型涉及多个随机因子，表明收益曲线上不同点上的随机因子具有某种程度的相关性。这种分类方法简单明了，并为学术界广泛接受。除了这种分类方法以外，还可以按照利率期限结构模型的均衡基础来分类，即无套利机会模型和一般均衡模型。
比较
一般均衡模型和无套利机会模型及其比较 主要的均衡模型有瓦西塞克模型(Vasicek)、CIR模型和双平方根模型。这三个模型的瞬时短期利率满足的随机微分方程是：
胡和李模型
胡和李模型：dr(t) = θ(t)dt+adw(t)，σ是正常数，。
布莱克-卡拉辛斯基模型
布莱克—卡拉辛斯基模型：dln(r(t)) = [θ(t) − α(t)ln(r(t))] + σ(t)dw(t) 。
HJM模型
HJM模型：df(t,T) = σ(t,T)dt+ σ(t,T,f(t,T))dw(t) 。 这里w(t)是标准布朗运动。
胡和李模型中的偏导数表示时间t到期的初始远期利率曲线f(0,t)的斜率。正是这个时间参变量函数使得胡和李模型定价的债券价格与所观察到的市场债券价格相吻合。但这个期限结构模型没有均值回复的性质，而且利率取负值的概率大于0。著名的布莱克(Black)和卡拉辛斯基(Karasinski)(1991)对数正态利率期限结构模型中的θ(t)、α(t)、σ(t)都是时间参变量的确定性函数，这些参数的选取要求使模型精确地拟合初始利率期限结构和市场波动曲线。由于模型中含有利率的对数，不仅消除了利率取负值的可能性，而且它让利率远离了零利率值。赫斯、加罗和墨顿模型(HJM)中的 (t,T)和α(t,T,f(t,T))是时间T到期的远期利率趋势系数和扩散系数。
虽然均衡模型直接给定短期利率的动态演变过程，但它并不要求根据期限结构模型推定的零息债券的价格必须符合市场价格。为什么允许模型的推定价格与债券的市场价格之间存在差异呢？这主要是因为影响债券价格的因素并不仅仅是短期利率。而无套利机会模型虽然也给定利率期限结构动态演变过程，但它要求模型给定的期限结构必须符合市场当时的利率期限结构。因此，只要正确给定无套利期限结构模型，那么根据模型对零息债券的定价，必定符合当时的市场价格，否则将存在套利机会。
从两类模型取得资料的角度来说，均衡模型主要利用过去的历史资料进行统计分析，对模型的趋势系数和波动结构系数进行估计，得出债券的价格和利率的期限结构动态演变。而无套利机会模型则需要即期利率期限结构的资料，这些资料很容易取得，而且无套利机会模型可以根据市场利率期限结构的资料及时进行调整。所以，均衡模型很适合于对债券的价格和利率的期限结构的动态过程进行预测。研究人员可以利用均衡模型了解期限结构曲线的形状与将来经济状况的预测的关系，但无法保证利用历史资料建立的期限结构模型能够符合后来的实际演变过程。而无套利机会模型可以直接应用于市场交易，因为理论模型的债券价格和利率期限结构与市场的债券价格和利率期限结构是一致的。
从两类模型的内部一致性来看，一般均衡模型的参数是通过长期积累的历史资料进行统计分析、估计得来的，因此模型的趋势系数、波动结构系数和均值回复值不会每天变化，参数值能够保持一定的稳定性，即使根据市场的变化重新注入新的市场资料，也不会对趋势参数和波动参数值的大小造成显著的影响，这样均衡模型能够在一段时间里保持一定的连贯性。而无套利机会模型需要假设趋势变量、波动率结构和利率回复均值，但是在两个不同的时间，模型所设定的参数不大可能保持前后一致性，除非利用市场资料本身调整的参数恰好符合某种一致性。因为无套利机会模型需要根据市场条件的变化经常校正，也就是说需要经常调整参数，使零息债券的模型推定价格曲线和市场价格曲线以及模型的利率期限结构曲线和市场期限结构曲线的拟合达到最佳程度。
单因子模型和多因子模型的比较前述的均衡模型和无套利机会模型都是单因子模型。单因子模型形式简便，参数的个数少，容易估计，并且应用起来也比较简单。
单因子
1）单因子模型的灵活性较差， 难以反映实际的各种可能的零息债券的收益曲线和利率期限结构的动态。因为单因子模型只将影响利率动态过程的一个因素包含到模型中，这显然与现实不符。经济学家经过研究发现，至少需要三个因子才能充分解释利率的变化。利特曼(Litterman)和斯格因克曼(Scheinkman)的研究表明单个因子(短期利率)大约只能解释美国国债利率变化的90%。杰姆希迪安(Jamshidian)和朱(Zhu)利用主成分分析方法或者因素分析方法，以日元、美元和德国马克的数据资料，对整个收益曲线的历史资料分析表明，两个主成分因子只能解释收益曲线变化的85%~90%，一个主成分因子可以解释收益曲线总的变化的68%~76% ，而三个主成分因子可以解释收益曲线总的变化的93% ~94%。
2）单因子模型隐含地假定所有可能的零息债券利率之间是完全相关的。
3）利用单因子模型对短期债券定价的误差是比较小的。但如果用单因子模型对较长期限的债券定价就会出现比较大的误差，此时用多因子模型进行定价比较合适。一般而言，由单因子模型推定的理论价格与实际的市场价格的误差都将超过l% ，这是勉强可以接受的；但如果用单因子模型对衍生证券定价时，其误差将达到20% 一30%，就让人无法接受了。
多因子模型假定利率期限结构的动态演变过程是由几个因子共同推动的。这些因子可以是宏观经济的冲击或者收益曲线本身的状况，如收益水平、收益曲线的斜度和收益曲线的曲度，也可以是短期利率、短期利率的波动和长期利率等。主要的多因子模型有郎恩斯塔夫和斯瓦兹双因子模型、布瑞安和斯瓦兹双因子模型、斯切法(Schaefer)、安娜·雅各布森·施瓦茨（Anna Jacobson Schwartz）的斯切法和斯瓦兹模型、切恩三因子模型和巴尔杜茨三因子模型。
多因子
1、由于多因子模型中包括大量的参数，因此，建立一个多因子模型的工作量极为繁重，对参数进行估计和校准也是极为困难的。
2、模型的形式复杂，参数很多，要推出债券价格的明确的计算公式往往很困难，有时甚至是不可能的，因此，用替代函数对收益曲线进行拟合时，需要累次执行误差最小化程序。
3、利用多因子模型给衍生证券定价时，一般要用数值计算方法才能得出衍生产品如期权的价格，只有朗恩斯塔夫和斯瓦茨双因子模型能够推出以到期时间、执行价格等表示的期权价格计算公式。
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实证分析
我国利率期限结构的实证分析
简介
在固定收益证券的投资领域，利率期限结构分析是一个重要的手段。根据公布的债券到期收益率的计算公式可以得到我国国债的实际收益率期限结构。我国国债期限结构分析中选取的国债品种包括99国债5、00国债7、01国债2、01国债14、02国债6、02国债7等。这些国债品种在2003年2月28日的收益率曲线，如下图1所示：
这种收益率曲线用预期假说无法解释清楚，也不能用流动性偏好理论解释清楚。流动性偏好理论假定投资者是风险厌恶型的，他们都偏好持有短期证券。因此，要让投资者投资长期债券，必须向投资者支付流动性补偿。这意味着长期利率等于短期利率与流动性补偿之和。因此，按照预期理论或者流动性偏好理论只能解释收益率期限结构向上倾斜、向下倾斜和水平的情况。但这种现象可以用市场分割理论解释。
分割理论
市场分割理论认为，债券市场是由期限不同的互不相关的市场组成，这些市场的利率由各自独立的市场供求决定。因此，不同期限的债券就不可能完全相互替代，资金也不会在长短期债券市场之间自由流动。这样，由于不同期限的债券的供求状况存在差异，那么按照债券的到期期限长短得到的流动性补偿将形成一个不规则的序列。这个不规则的流动性补偿序列结合短期利率，就会形成中间隆起的收益率期限结构曲线。
选取1998年1月到2003年2月间的银行间国债回购市场的l周、2周和4周国债回购利率回归得到三个瓦西塞克模型：
l周模型：dr(t)：2.0ll548(0.022496-r(t))+0.010703*dw(t) 2周模型：dr(t)=1.570225(0.021726-r(t))+0.008424*dw(t) 4周模型：dr(t)=1.07l929(O.019679-r(t))+0.005865*dw(t) 根据l周、2周和4周国债回购利率模型模拟的零息债券收益率期限结构曲线如图2：
图2中从上到下分别是根据l周、2周和4周国债回购利率的回归模型模拟的零息债券期限结构。根据l周模型模拟的零息债券收益率曲线是缓慢上升的，根据2周模型模拟的零息债券收益率曲线近似于一条水平线，而根据4周模型模拟的零息债券收益率曲线是缓慢下降的，这代表了符合预期理论的三种典型收益率曲线。这可能是我国国债市场上不同的投资群体中存在三种不同的预期，这与预期理论假定人们对未来短期利率有确定的预期不符；也可能意味着我国国债市场上存在市场分割，不同的市场上有不同的预期。从回归模型本身看，l周模型的均值回复速度和短期利率的波动系数最大，说明1周国债回购利率的波动最剧烈；4周国债回购利率的均值回复速度和波动系数最小，说明4周国债回购利率的波动最缓慢。
期限结构模型模拟和实际国债收益率曲线说明我国国债市场存在市场分割现象。怎样解释国债市场存在的市场分割现象呢?我国债券市场上，国债的期限结构过于单一，一年以下的短期国债和lO年以上的长期国债所占的比例太小，绝大部分国债的期限都是1年到lO年的中期国债。而不同的投资者对不同期限的国债有不同的投资偏好，在市场上找不到符合自己偏好的投资期限的国债时，这种投资需求将转移到其它期限的国债。这种需求转移将造成某些期限的国债的投资需求出奇地高，其直接结果是这类国债的价格上升到一定的高度，使它的到期收益率降低到低于其它期限的国债，甚至使流动性补偿难以弥补因投资需求大幅度上升引致的到期收益率降低的幅度。此外，我国交易所市场和银行间国债市场的不统一也是造成市场分割的原因之一。
概述
要解决这个问题必须从几个方面人手。首先，要建立一个统一的国债市场，将现有的银行间市场和交易所市场统一起来，消除投资者进入市场的障碍。这样可以充分释放市场竞争力，使国债利率水平真实反映国债市场的资金供求状况。其次，改革现有的国债发行期限不合理的状况，长中短各期限国债要搭配发行，改变国债发行时间过于集中的状况，借鉴美国的做法，每周发行国债，有利于形成完整的国债收益率曲线。
曲线
为了更好地理解债券的收益率，我们引进“收益率曲线”这个概念。收益率曲线即不同期限的即期利率的组合所形成的曲线。在实践中，由于即期利率计算较为繁琐，也有相当多教科书和业者采用到期收益率来刻画利率的期限结构。
基本类型
从形状上来看，收益率曲线主要包括四种类型。在图中，图（a）显示的是一条渐升型利率曲线，表示期限越长的债券利率越高。这种曲线形状被称为“正向的”利率曲线。图（b）显示的是一条渐降型利率曲线，表示期限越长的债券利率越低。这种曲线形状被称为“相反的”或“反向的”利率曲线。图（c）显示的是平坦型利率曲线，表示不同期限的债券利率相等，这通常是正利率曲线与反利率曲线转化过程中出现的暂时现象。图（d）显示的是隆起型利率曲线，表示期限相对较短的债券，利率与期限呈正向关系；期限相对较长的债券，利率与期限呈反向关系。从历史资料来看，在经济周期的不同阶段可以观察到所有这四种利率曲线。