汽油标号曾经为90、93、97，新标准为89、92、95、98以及少部分地区才有的101号蓝油，两个的关系为：
汽油929597有什么区别？
汽油不同标号区别的是辛烷值比例、密度高低以及适合不同的发动机，并不是越高越好。
汽油标号曾经为90、93、97，新标准为89、92、95、98以及少部分地区才有的101号蓝油，两个的关系为：
92替代93
95替代97
98定位高级汽油
101号多为奢侈级轿跑车用油
看完标号的区别后再看本质的区别，首先说明辛烷值的影响。
汽油中有异辛烷和正庚烷，异辛烷的辛烷值为100、正庚烷的辛烷值为0，辛烷值越高汽油燃烧的爆震感越小。92#汽油异辛烷的比例为92%、正庚烷8%，按照比例是确定标号的，95/98同理，89#汽油基本不供应。
所以92#汽油是常用油品中标准最低的，但区别的仅仅是辛烷值并不是汽油的纯净度，那么只适合使用92并不会造成负面问题。
决定汽车应该使用哪种标准的汽油有制造工艺和压缩比决定，简单理解制造工艺决定了能承受92#汽油的爆震而不至于造成活塞与气缸缸体的金属摩擦，压缩比决定了是否能够高效的引燃燃油。
辛烷值比例的不同对于汽油的蒸发性能和燃点有一定影响，假设发动机的压缩比只适合92#，在压缩冲程活塞可以有效的把喷入气缸的液态汽油加热蒸发为气态，之后由火花塞点火引燃，这是正常的运行模式。
而为这台发动机提供高标号的95#汽油则会造成燃油更难蒸发以及燃点的细微变化，在同样的压缩比下压缩冲程产生的温度不能完全有效的蒸发汽油，所以气缸内会有部分液态汽油；这部分汽油在火花塞点火之后不会像汽油蒸汽一样快速燃烧，但一次进压爆排的速度又是极快的，所以这份汽油不能充分燃烧则会造成积碳，而且同样容积的汽油没有做出同样的有效功，动力也会明显下滑，这种状态叫做滞燃。
以上是不同标号汽油的主要区别，量产入门级车大部分只适合使用92#，盲目提升会造成滞燃导致上述问题。消费级及以上量产车往往会建议使用92/95/93/97，同时适应两个等级汽油的发动机应该使用哪种，可以按照密度的差异计算性价比。
92#的密度约为0.725g/ml
95#的密度约为0.737g/ml
排除环境因素的影响按照标准值计算，一升95#汽油密度多出12克，家用车油箱容积按照平均50升计算，满满一箱油会多出600克的汽油。
假设汽车的综合路况平均油耗按照8L/100km计算，一公里耗油80毫升质量约为58.96克，也就是说95#汽油600克的密度差，可以多行驶出约10.18公里。
95#汽油价格按照7.5元计算、92号汽油以7元计算，一箱油两个标号的差价为25元，以同样的油耗计算使用92号汽油多加3.57升汽油，则可以多行驶出44.625公里，比使用95#汽油还要多出一些，性价比孰高孰低只要在汽油不掺假的前提下一目了然。
能同时适用两个等级汽油的发动机即使使用低标号也不会造成损伤，所以可以总结：汽油的标号区别如上所述，使用汽油可以按照建议值的最低标准选择，92/95用92#、95/98用95#即可，建议值在油箱盖内侧标注。
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什么是小高层？
1．住宅的种类（种类很多，你一定要耐心看啊！包括如何区分塔楼、板楼，应该是很全面了，不过序号不太对）
住宅的种繁多，主要分为高档住宅、普通住宅、公寓式住宅、TOWNHOUSE、别墅等。
（1）按楼体高度分类，主要分为低层、多层、小高层、高层、超高层等。
（2）按楼体结构形式分类，主要分为砖木结构、砖混结构、钢混框架结构、钢混剪刀墙结构、钢混框架一剪刀墙结构、钢结构等。
（3）按楼体建筑形式分类，主要分类低层住宅、多层住宅、中高层住宅、高层住宅、其他形式住宅等。
（4）按房屋型分类，主要分为普通单元式住宅、公寓式住宅、复式住宅、跃层式住宅、花园洋房式住宅、小户型住宅（超小户型）等。
（5）按房屋政策属性分类，主要分为廉租房、已购公房（房改房）、经济适用住房、住宅合作社集资建房等。
9．低层住宅
低层住宅主要是指（一户）独立式住宅、（二户）联立式住宅和（多户）联排式住宅。与多层和高层住宅相比，低层住宅最具有自然的亲合性（其往往设有住户专用庭院），适合儿童或老人的生活；住户间干扰少，有宜人的居住氛围。这种住宅虽然为居民所喜爱，但受到土地价格与利用效率、高政及配套设施、规模、位置等客观条件的制约，在供应总量上有限。
10．多层住宅
多层住宅主要是借助公共楼梯垂直交通，是一种最具有代表性的城市集合住宅。它与中高层（小高层）和高层住宅相比，有一定的优势：
（1）在建设投资上，多层住宅不需要像中高层和高层住宅那样增加电梯、高压水泵、公共走道等方面的投资。
（2）在户型设计上，多层住宅户型设计空间比较大，居住舒适度较高。
（3）在结构施工上，多层住宅通常采用砖混结构，因而多层住宅的建筑造价一般较低。
但多层住宅也有不足之处，主要表现在：
（1）底层和顶层的居住条件不算理想，底层住户的安全性、采光性差，厕所易溢粪返味；顶层住户因不设电梯而上下不便。此外屋顶隔热性、防水性差。
（2）难以创新。由于设计和建筑工艺定型，使得多层住宅在结构上、建材选择上、空间布局上难以创新，形成“千楼一面、千家一样”的弊端。如果要有所创新，需要加大投资又会失去价格成本方面的优势。
多层住宅的平面类型较多，基本类型有梯间式、走廊式和独立单元式。
11．小高层住宅
一般而言，小高层住宅主要指7层~10层高的集合住宅。从高度上说具有多层住宅的氛围，但又是较低的高层住宅，故称为小高层。对于市场推出的这种小高层，似乎是走一条多层与高层的中间之道。这种小高层较之多层住宅有它自己的特点：
（1）建筑容积率高于多层住宅，节约土地，房地产开发商的投资成本较多层住宅有所降低。
（2）这种小高层住宅的建筑结构大多采用钢筋混凝土结构，从建筑结构的平面布置角度来看，则大多采用板式结构，在户型方面有较大的设计空间。
（3）由于设计了电梯，楼层又不是很高，增加了居住的舒适感。但由于容积率的限制，与高层相比，小高层的价格一般比同区位的高层住宅高，这就要求开发商在提高品质方面花更大的心思。
12．高层住宅
高层住宅是城市化、工业现代化的产物，依据外部形体可将其分为塔楼和板楼。
（1）高层住宅的优点：高层住宅土地使用率高，有较大的室外公共空间和设施，眺望性好，建在城区具有良好的生活便利性，对买房人有很大吸引力。
（2）高层住宅的缺点：高层住宅，尤其是塔楼，在户型设计方面增大了难度，在每层内很难做到每个户型设计的朝向、采光、通风都合理。而且高层住宅投资大，建筑的钢材和混凝土消耗量都高于多层住宅，要配置电梯、高压水泵、增加公共走道和门窗，另外还要从物业管理收费中为修缮维护这些设备付出经常性费用。
高层住宅内部空间的组合。按住宅内公共交通系统分类，高层住宅分单元式和走廊式两大类。其中单元式又可分为独立单元式和组合单元式，走廊式又分为内廊式、外廊式和跃廊式。
13．超高层住宅
超高层住宅多为30层以上。超高层住宅的楼地面价最低，但其房价却不低。这是因为随着建筑高度的不断增加，其设计的方法理念和施工工艺较普通高层住宅和中、低层住宅会有很大的变化，需要考虑的因素会大大增加。例如，电梯的数量、消防设施、通风排烟设备和人员安全疏散设施会更加复杂，同时其结构本身的抗震和荷载也会大大加强。别外，超高层建筑由于高度突出，多受人瞩目，因此在外墙面的装修上档次也较高，造成其成本很高。若建在市中心或景观较好地区，虽然住户可欣赏到美景，但对整个地区来讲却不协调。因此，许多国家并不提倡多建超高层住宅。
14．单元式住宅
单元式住宅，又叫梯间式住宅，是以一个楼梯为几户服务的单元组合体，一般为多、高层住宅所采用。单元式住宅的基本特点有：
（1）每层以楼梯为中心，安排户数较少，一般为2~4户，大进深的每层可服务于己5~8户。住户由楼梯平台进入分户门，各户自成一体。
（2）户内生活设施完善，既减少了住户之间的相互干扰，又能适应多种气候条件。
（3）建筑面积较小，户型相对简单，可标准化生产，造价经济合理。
（4）仍保留一定的公共使用面积，如楼梯、走道、垃圾道；保持一定的邻里交往，有助于改善人际关系。
15．公寓式住宅
公寓式住宅是区别于独院独户的西式别墅住宅而言的。公寓式住宅一般建筑在大城市里，多数为高层楼房，标准较高；每一层内有若干单户独用的套房，包括卧房、起居室、客厅、浴室、厕所、厨房、阳台等等；有的附设于旅馆酒店之内，供一些常常往来的中外客商及其家属中短期租用。
16．花园式住宅
花园式住宅一般称西式洋房或小洋楼，也称花园别墅。一般都是带有花园草坪和车库的独院式平房或二、三层小楼，建筑密度很低，内部居住功能完备，装修豪华并富有变化。住宅内水、电、暖供给一应俱全，户外道路、通迅、购物、绿化也都有较高的标准，一般是高收入者购买。
17．跃层式住宅
跃层式住宅是指住宅占有上下两个楼面，卧室、起居室、客厅、卫生间、厨房及其他辅助空间用户可以分层布置，上下层之间不通过公共楼梯而采用户都内独用小楼梯连接。
优点是：（1）每户都有较大的采光面，通风较好；（2）户内居住面积和辅助面积较大；（3）布局紧凑，功能明确，相互干扰较小。
18．复式住宅
复式住宅一般是指每户住宅在较高的楼层中增建一个夹层，两层合计的层高要大大低于跃层式住宅（复式为3.3米，而一般跃层式为5.6米），其下层供起居用，如炊事、进餐、洗浴等；上层供休息睡眠和贮藏用。
优点是：
（1）平面利用系数高，通过夹件层复合，可使住宅的使用面积提高50%~70%；
（2）户内隔层为木结构，将隔断、家具、装饰融为一体，既是墙，又是楼板、床、柜，降低了综合造价；
（3）上部层采用推拉窗户，通风采光好，与一般层高和面积相同住宅相比，土地利用率可提高40%。
不足在于：
（1）复式住宅面宽大、进深小，如采用内廊式平面组合必然导致一部分户型朝向不佳，自然通风、采光较差；
（2）层高过低，如厨房只有2米高度，长期使用易产生局促憋气的不适感；贮藏间较大，但层高只有1.2米，很难充分利用；
（3）由于室内的隔断、楼板均采用轻薄的木隔断，木材的成本较高且隔音、防火功能差，房间的私密性、安全性较差。
19．智能化住宅
智能化住宅是指将各种家用自动化设备、电器设备、计算机及网络系统与建筑技术和艺术有机结合，以获得一种居住安全、环境健康、经济合理、生活便利、服务周到的感觉，使人感到温馨舒适，并能激发人的创造性的住宅型建筑物。一般认为具备下列四种功能的住宅为智能化住宅：
（1）安全防卫自动化；
（2）身体保健自动化；
（3）家务劳动自动化；
具备以下四种基本功能，即可实现家庭活动自动化。家庭活动自动化是指家务、管理、文化娱乐和通信的自动化。所谓家务，是指家电设施、保安设施、能源管理等；所谓管理，是指家庭购买、经济管理、家务工作及医疗健康管理等；所谓文化娱乐，是指利用计算机进行学习、娱乐、文艺创作等；所谓通信，是指利用通信网络与外界联络及咨询服务。
要注意电脑化和智能化的是不同的。大量内附计算机硬件与软件的仪表仪器、装备和系统，均可称为“电脑化”，但不一定是智能化。必须采用某种或某些人工智能技术，使该仪表、仪器、装备和系统具有一定的智能功能，方可称为智能化。电脑化是智能化的必要条件，但不是充分条件。
智能化住宅小区是指以一套先进、可靠的网络系统为基础，将住户和公共设施建成网络并实现住户、社区的生活设施、服务设施的计算机化管理的居住场所。其重点在于提高家庭教育水平、科技水平和住宅的安全性。
为进一步规范住宅小区智能化建设，建设部住宅产业化办公室和勘察设计制定了《全国住宅小区智能化系统示范工程建设要点与技术导则》（以下简称《导则》），将全国住宅小区智能化系统建设分为一星级、二星级和三星级三个等级。
（1）《导则》要求一星级示范小区应具有：安全防范子系统，包括出入口管理及周界防卫报警、闭路电视监控、对讲与防盗门控、住户报警、巡更管理；信息管理子系统，包括对安全防范系统实行监控、远程抄收与管理、IC卡、车辆出入与停车管理，供电设备、公共照明、电梯、供水等重要设备监控管理，紧急广播与背景音乐系统，物业管理计算机系统；信息网络子系统，包括为实现上述功能科学合理的布线，每户不少于两条，建立有线电视网。
（2）二星级示范小区除应具有一星的全部功能外，在安全防范子系统和信息管理子系统方面，其功能及技术水平应有较大提高；信息传输通道应采用高速宽带数据网作为主干网；物业管理计算机系统应配置局部网络，并供住户使用。
（3）三星级示范小区应具有二星级的全部功能。其智能化系统的建设在有可能的条件下，应实现现代集成建造系统（HI-CIMS）技术，并把物业管理智能化系统建设纳入整个住宅小区中，作为HI-CIMS工程中的一个子系统。同时，HI-CIMS要考虑物业公司对其智能化系统管理的运行模式，使其实现先进性、可扩展性和方便管理。
20．退台式住宅
退台式住宅又称为“台阶式”住宅，因其外形类似于台阶而得名。这类住宅的建筑特点是住宅的建筑面积由底层向上逐层减小，下层多出的建筑面积成为上层的一个大平台，面积要大大超过一般住宅凸出或凹进的阳台面积。退台式住宅的优点是：住户都有较大的屋外活动空间，同时也有良好的采光和通风；缺点是：一部分建筑空间转作平台，建筑容积率减少，占地较多，因此，地价在总造价中的比重提高。目前，国内建造的退台式住宅，都属于价格较高的中高档住宅，一般建在地价较低的郊外住宅区或旅游度假区，一些低层的独立式别墅式住宅，也常采用退台式设计。
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按房屋建筑楼层分类
1、房屋层数
房屋层数是指房屋的自然层数，一般按室内地坪±0以上计算；采光窗在室外地坪以上的半地下室，其室内层高在2.20m以上（不含2.20m）的，计算自然层数。房屋总层数为房屋地上层数与地下层数之和。假层、附层（夹层）、插层、阁楼（暗楼）、装饰性塔楼，以及突出屋面的楼梯间、水箱间不计层数。
2、地下室
是指房屋全部或部分在室外地坪以下的部分（包括层高在2.2m以下的半地下室），房间地面低于室外地平面的高度超过该房间净高的1/2者。
3、半地下室
房间地面低于室外地平面的高度超过该房间净高的1/3，且不超过1/2者。
4、假 层
是指建房时建造的，一般比较低矮的楼层。其前后沿的高度大于1.7m，面积不足底层的二分之一的部分。附层（夹层）是房屋内部空间的局部层次。
5、搁楼（暗楼）
一般是房屋建成后，因各种需要，利用房间内部空间上部搭建的楼层。
6、低层住宅
指一层至三层的住宅。
7、多层住宅
指四层至六层的住宅。
8、中高层住宅
指七层至九层的住宅。
9、高层住宅
指十层及十层以上的住宅。
10、塔式高层住宅
以共用楼梯、电梯为核心布置多套住房的高层住宅。
11、单元式高层住宅
由多个住宅单元组合而成，每单元均设有楼梯、电梯的高层住宅。
12、通廊式高层住宅
由共用楼梯、电梯通过内、外廊进入各套住宅的高层住宅。
13、跃层住宅
套内空间跨跃两楼层及以上的住宅。
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按房屋建筑楼层分类
1、房屋层数
房屋层数是指房屋的自然层数，一般按室内地坪±0以上计算；采光窗在室外地坪以上的半地下室，其室内层高在2.20m以上（不含2.20m）的，计算自然层数。房屋总层数为房屋地上层数与地下层数之和。假层、附层（夹层）、插层、阁楼（暗楼）、装饰性塔楼，以及突出屋面的楼梯间、水箱间不计层数。
2、地下室
是指房屋全部或部分在室外地坪以下的部分（包括层高在2.2m以下的半地下室），房间地面低于室外地平面的高度超过该房间净高的1/2者。
3、半地下室
房间地面低于室外地平面的高度超过该房间净高的1/3，且不超过1/2者。
4、假 层
是指建房时建造的，一般比较低矮的楼层。其前后沿的高度大于1.7m，面积不足底层的二分之一的部分。附层（夹层）是房屋内部空间的局部层次。
5、搁楼（暗楼）
一般是房屋建成后，因各种需要，利用房间内部空间上部搭建的楼层。
6、低层住宅
指一层至三层的住宅。
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按房屋建筑楼层分类 房屋层数 房屋层数是指房屋的自然层数，一般按室内地坪±0以上计算；采光窗在室外地坪以上的半地下室，其室内层高在2.20m以上（不含2.20m）的，计算自然层数。房屋总层数为房屋地上层数与地下层数之和。假层、附层（夹层）、插层、阁楼（暗楼）、装饰性塔楼，以及突出屋面的楼梯间、水箱间不计层数。 地下室 是指房屋全部或部分在室外地坪以下的部分（包括层高在2.2m以下的半地下室），房间地面低于室外地平面的高度超过该房间净高的1/2者。 半地下室 房间地面低于室外地平面的高度超过该房间净高的1/3，且不超过1/2者。 假 层 是指建房时建造的，一般比较低矮的楼层。其前后沿的高度大于1.7m，面积不足底层的二分之一的部分。附层（夹层）是房屋内部空间的局部层次。 搁楼（暗楼） 一般是房屋建成后，因各种需要，利用房间内部空间上部搭建的楼层。 低层住宅 指一层至三层的住宅。 多层住宅 指四层至六层的住宅。 中高层住宅 指七层至九层的住宅。 高层住宅 指十层及十层以上的住宅。 塔式高层住宅 以共用楼梯、电梯为核心布置多套住房的高层住宅。 单元式高层住宅 由多个住宅单元组合而成，每单元均设有楼梯、电梯的高层住宅。 通廊式高层住宅 由共用楼梯、电梯通过内、外廊进入各套住宅的高层住宅。 跃层住宅 套内空间跨跃两楼层及以上的住宅。
个人心理成熟的具体表现都有哪些？
真正心理成熟的人，都做到了这5点
许多人所谓的成熟，不过是被习俗磨去了棱角，变得世故而实际了。
那不是成熟，而是精神的早衰和个性的消亡。
真正的成熟，应当是独特个性的形成，真实自我的发现，精神上的结果和丰收。
经历过生活的洗礼后，会发现，真正心理成熟的人，大多具备这5点。
01
能够控制自己的情绪
费斯汀格在《、决策和失调》中说：生活中的 10% 由发生在你身上的事情组成，而另外的 90% 则由你对所发生事情如何反应决定。
他在这本书中，讲了这样一个故事：
卡斯丁早上洗漱，将高档手表放在洗漱台边，妻子怕被水淋湿，就顺手放在了餐桌上。
儿子拿面包时，将手表碰到地上摔坏了。卡斯丁把儿子揍了一顿，并和妻子吵了一架。
卡斯丁去公司忘了拿公文包，又马上转回家。家中没人，他只好打妻子的。
妻子急忙往家赶，撞翻了路边一个水果摊。
结果是：卡斯丁迟到了15分钟；妻子被扣了当月的全勤奖；儿子这天参加棒球比赛被淘汰。
这真是“糟糕的一天”。
在这个故事中，手表摔坏只是其中的10%，后面发生的一系列事情就是那另外的90%。
试想一下，如果卡斯丁在发现手表被儿子摔坏时，没有动怒而是说：“不要紧，拿去修修就好了。”
我想，故事的结局，会是另外一种结果。
其实发脾气谁都会，但收得住情绪才是一个人的真本事。
一个心理成熟的人，往往能够控制自己的情绪，接受并承受生活中所有好的和不好的情绪，合理地消化或者转化，并采取积极的回应。
学会控制自己的情绪，并不是要你一味地忍让与妥协，而是帮助你脱离情绪的支配，更好地解决事情。
毕竟你对待情绪的，决定了你对待生活的。
而能够管理自己情绪的人，也同样能够掌控自己的人生。
02
从平淡生活中感知快乐
“如果在三十岁以前，最迟在三十五岁以前，我还不能使自己脱离平凡，那么我就。”
听到一名大一学生对他说这样的话时，梁晓声背脊有些发凉。
然后，他连续给出了两个反问：做一个平凡的人真的那么令人沮丧吗？如果注定一生平凡，真的要在三十五岁以前吗？
我们从小就被教育，要考上名牌大学，要在名企工作，要买车买房，要出人头地，要过上体面的生活，要有一定的地位和名声......
但其实，终其一生，我们中的绝大多数人只是归于平凡，不平凡永远是极少数。
就像周国平说的那样：“人世间的一切不平凡，最后都要回归于平凡，都要用平凡生活来衡量其价值。
伟大、精彩、成功都不算什么，只有把平凡生活真正过好，人生才是圆满。”
平凡，并不等于失败。
真正心理成熟的人，是懂得与平凡的自己和解。
把平凡的人生过得妙趣横生，在平淡的生活中感知快乐。
这是一种成熟，也是一种幸福。
林语堂说，幸福很简单：“一是睡在自家的床上，二是吃父母做的饭菜，三是听爱人给你说情话，四是跟孩子做游戏。”
接受自己的平凡，并从平凡的生活中感受到幸福，这大概就是人一生所追求的内心归宿。
03
不在意别人的眼光，做自己
哲学家叔本华曾说过：人性一个最特别的弱点就是，在意别人如何看待自己。
在我们的一生中，总是希望通过自己的努力，向别人证明，我是最优秀的，我是无可替代的。
但是心理成熟的人，从不在意别人的眼光，只是过好自己的人生。
熟悉李安的人都知道，在他36岁成名之前，在家当了6年的“家庭主夫”。
整整6年，妻子林嘉慧在外工作赚钱，李安负责买菜、做饭、洗衣服、带孩子......
试想，一个社会中的普通人，不工作只靠老婆养活，“吃软饭”、“窝囊废”等不堪入耳的词汇，不知道能淹死多少人。
李安也曾为了证明自己不是别人眼中“吃软饭”的，想随便找一份职业养家糊口。
但是妻子的支持，让他坚定了内心的梦想，从而不再理会他人的眼光，只是用心做好自己。
1990年，36岁的李安，凭借剧本《推手》赢得了40万美元奖金，从此开始了辉煌的导演事业。
李笑来在《把时间当做朋友》一书中写道：“如果你是出色的，不需要你去证明你是出色的，别人自然会看到；如果你是平庸的，不需要你证明你是平庸的，别人还是同样会看到。”
所以，我们不需要为了取悦别人，而改变自己的生活；
更不需要在他人的评价里，找寻自己的存在感。
我们需要的只是，坚定地做自己，走自己的路，活出自己的精彩。
04
认识自己，接纳自己，与自己和解
《感谢自己的不完美》中，有这样一个故事：
30多岁的徐哲，一直都尽可能用各种努力，给周围人留下一个好印象。
但其实，他几乎每天都处于痛苦纠结中。
为此，他寻求心理咨询，持续了将近10年。
戏剧性的是，他最后好起来的那一，却看似与心理医生无关。
当时，他正在看一部电视剧，剧中一人对另一人说：“你骗得了别人，但你骗不了自己！”
这句很普通的话，却让他一下子跟自己和解了。
过去，他一直在否认那个孤独而不善交际的真实的自己，他总觉得，自己不应该是这样子的。
于是，渴望成为相反的、完美的样子，但那份完美，只是表演给别人看的。
英国精神分析学家——威尔弗雷德·鲁普莱希特·比昂说：当我们能够去接受一定的不完美时，我们才有可能去看到美好的东西。
成熟，不是你可以改变世界，而是可以接纳自己的不完美。
因为只有接纳，我们才能认清自己的禀赋和性情，找到最适合自己的位置，不断成为更好的自己。
05
不随意评价别人的生活
不随意评价别人的生活，是一种修养。
在网上看到一个故事：
英国有一对小夫妻，没什么钱。
在决定结婚前，男人打算送个戒指给女人，于是进了一家珠宝店。
据说这家店的价格很低，130美元就可以订一个戒指。
结果，当女人在店里试戴戒指的时候，店员跟她说：
“简直不敢相信有男人会用这么便宜的戒指来结婚，太悲哀了。”
对于女人来说，只要是真心喜欢的人，即使没有上万的钻戒，没有奢华的仪式，也没有什么关系。
但在店员看来，女人嫁给一个买不起钻戒的男人，是一件很悲哀的事情。
我们每个人，都有自己的生活。
有的人，能每天填饱肚子就是一种幸福；
有的人，能上完九年义务教育就已经很知足；
有的人，能健健康康长大都是一种奢望……
所以，不要总是站在自己的角度上，去随意评价别人的生活。
你眼中的不幸，在别人眼里有可能是莫大的幸福；
同样地，你眼中的幸福，在别人看来未必如此。
真正心理成熟的人，从来不会站在道德高地上，对别人的生活进行居高临下的评头论足。
要知道，知人不评人，方为人上人。
不随意评价别人的生活，是一种修养，更是一种善良。
数学上的连续的概念？
（连续性在《数学分析》中是非常有影响力一个概念，它不仅本身发挥着重要作用（例如：作为函数的三大特性：连续性、可微性、可积性，之一）而且与许多其它概念都有关联（例如：极限），所以，要搞清楚它着实需要花一些力气！这里，小石头准备用 十个话题，将 连续概念的 全貌展现给大家，希望大家能喜欢！）
连续 就是 一个接一个持续不间断 之意。日常生活中 的 绳子、电源线、项链 都是 具有连续性质的事物，这些事物都是由一个个子对象组成，这些子对象排成一条线，对象之间没有间断。
数字天然可以根据大小关系排成一条线，于是数字组成的集合——数集，就有了研究联系性的必要，这就引入我们今天讨论的第一个话题：实数的连续性。
最初，人们认为：
整数集 Z 是不连续的，因为 在 0 和 1 之间，存在 1/2 将它们隔开；
有理数集 Q 是连续的，因为 Q 具有 稠密性： 在任意 两个 不同的 有理数 之间，都存在 无数个有理数；
但是，后来随着 √2 的发现，人们才知道 有理数 之间 还存在 无理数，因此 有理数集 Q 不连续，而有理数 + 无理数 组成的 实数集 R 才是真正 连续的。
同时，人们还认识到 稠密性 ≠ 连续性，我们需要重新寻找 实数的连续性的定义！早期，人们将 实数 和 直线上的 点 一一对应，而几何上，直线被定义为是连续的，因此与 直线 一一对应的 实数集 也是连续的，后来，经过漫长的岁月，数学家发现，对于某个数集 K，可以进行如下分割操作 ：
K 的所有数字依从小到大，从左到右，在我们面前排成 一条线。我们用刀去砍这条线，一刀下去，将 一条线 分为左右 A，B 两段 ，显然， A 和 B 满足条件：
左半 边 A 中的 任意 数字 都小于 右半边 B 中的任意 数字
称 满足上面 条件 的这种 分割操作，为 戴德金分割，记为 A|B。人们发现，因 K 是否连续，戴德金分割的结果有差异：
如果 K 不连续，则 这条线上存在缝隙，当 刀刚好 从某个缝隙点穿过 时，分割的结果是：A 没有 没有 最大值 并且 B 没有 最小值；
如果 K 连续，则 这条线上 不存在缝隙点，于是 刀 一定砍在 某个点 x 上，又因为点不能被分割，于是刀要么从 点 x 的左边穿过，这时 B 的最小值是 x，要么从 点 x的右边穿过，这时 A 的最大值是 x；
于是，大家就将上面的结论2 作为 数集K的连续性定义。实数集 R 符合这个定义的要求 而 有理数集 Q 不满足，我们称 实数为 连续性系统，简称，连续统。
不仅仅是直线，平面上的 曲线 也都是连续性的，而 曲线又与 实函数关联，于是，连续的概念就成为实函数的一个重要性质。那么，具体是 如何 在 实函数上定义连续性呢？这就是我们这里要展开的第二个话题。
一个实函数 f(x) 定义为 实数集 R 的子集 E 到 实数集 R 的 映射，记为, f: E → R (E ⊆ R)。我们要搞清楚 整个 函数 f(x) 的 连续性，就要先搞清楚 函数 f(x) 在 定义域 中的 每一个 点 x₀ 处的连续情况。
首先，如果 x₀ 点 不存在，即，x₀ ∉ E，则 函数 f(x) 在 x₀ 点 看上去的确是不连续， 我们称 这样的 点 x₀ 为奇点。
但是，这种不连续 是定义域 E 的不连续引起的，它属于 第一个话题讨论的 数集E 的连续性，而非这里要讨论的 函数 f 的连续性。函数 既然是 映射，那么 其连续性应该体现为：保持连续性，即，
将定义域 E 中的 连续部分 映射为 值域 R 中 连续的像集
而 对于 E 的不连续部分，由于 根本没有机会体现 f 的连续性，同时也无法找到 不连续的 证据，所有 我们只能默认 这部分点 在 f 上 是连续的 。
接下来，我们先分析 E 中的连续部分中的点。
设 E 中 x₀ 附近定义域局部是连续的，如果 f 在 x₀ 点 是连续性，则根据 保持连续性 要求， f(x₀) 附近的影像 也应该是连续性。但是，事实上，函数值 f(x₀) 可以与其 右边、 左边 或 两边的 函数值 断开，
这些情况，都违反了 保持连续性，因此 这时 函数 f(x) 在 x₀ 就是不连续的，我们称 这样的点 x₀ 为 f(x) 的一个断点。而只有当 函数值 f(x₀) 与其 两边的函数值 都连贯，
才能 说 函数 f(x) 在 x₀ 连续，我们称 这样的点 x₀ 为 f(x) 的一个连续点。
我们仔细观察，上面 x₀ 左边连续、右边断开 的情况，
就会发现：
由于左边连续，当 x 从 左边无限逼近 x₀点 时， 函数值 f(x) 也会 无限逼近 f(x₀)；
而 因为 右边断开，当 x 从 右边无限逼近 x₀点 时，函数值 f(x) 所无限逼近的 值 A 和 f(x₀) 之间 相差 断开的 间距 b ，从而不相等；
我们 称 x 从 左边、右边 或 两边 无限逼近 x₀点 时， 函数值 f(x) 所无限逼近的 值 A 为 f(x) 在 x₀ 点的 左极限、右极限 或 极限，分别记为：
也写成：
这里 x → x₀ 表示： x 无限逼近 x₀ 点，方向没有限制；x₀⁻ 与 x₀⁺ 分别限制 只从 x₀ 的左边 与 右边 逼近。
则，根据上面的发现， 函数 f(x) 在 x₀ 点 连续，就意味着：f(x) 在 x₀ 点的极限 是 f(x₀ )，即，
这就是，函数在点 x₀ 处连续的第一种定义。
接着，再考虑 E 的不连续部分对于 上面定义的影响。我们用 x → x₀ ∈ E 来表示 在 E 内 受 E 的制约下 x 无限逼近 x₀，即，只有当 E 使得 x₀ 左（或 右）连续时，从 左（右）边逼近 才被启用：
于是，上面的定义也相应修改为：
这样以来，E 的不连续性 被从 f(x) 的 连续性中 完全排除，f(x)的连续性 只要保证 E 中连续的部分保持连续 就好了。例如，以下 E 中的不连续点 对于 f(x) 都是连续的：
特别是 x₀ 这样的 孤立点，使得 既不能从 左边逼近 也 不能从 右边，于是 逼近 失去意义，它总是连续的！
最后，在 函数 f(x) 关于点x₀ 连续性定义基础上，我们只要再定义：
如果一个函数 f(x) 在每一个点 x₀ 处都是连续的，则称该函数 f(x) 是连续函数。
前面的讨论说明 极限 和 连续性 是紧密相关的，因此 我们有必要开启第三个话题 ，以通过进一步分析 极限，来 揭示 连续性 的根深层 的内容。
上面极限定义中用 箭头 表示的 “无限逼近” ，仅仅是一种直觉概念，并不是 明确的 数学定义。 这种早期的微积分漏洞，后来被数学家用 ε-δ 语言 补足。
对于 任意 极限 x → x₀, f(x) → A，我们 令，
δ = |x - x₀|
则 δ 表示 当前 x 逼近 x₀ 的逼近距离，由于 无限逼近 要求 x ≠ x₀，所以 逼近距离 δ = |x - x₀| > 0。
同理，可以 令，
δ' = |f(x) - A| > 0
于是，极限 x → x₀, f(x) → A，可以描述为：
当 x 到 x₀ 的 逼近距离 δ 无限小时， f(x) 到 A 的逼近距离 δ' 也跟着无限小。
这里 δ' 的无限小，就意味着：
给定义 任意 f(x) 到 A 的逼近距离 ε 都 存在 （δ 导致下 的）逼近距离 δ' < ε。
将这句话，翻译成数学语言，就是：
对于任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 满足 |x - x₀| = ε 的 点 x 有 |f(x) - A| < δ
这就是 最初 极限的 ε-δ 语言定义，但 这个定义存在瑕疵，考虑下面的情况，
函数 f(x) = sin(1/x) 在逼近 x₀ = 0 时的值会不停在 -1 到 1 之间震荡，所以 x₀ = 0 应该没有 极限值才对。但是根据 上面的 定义， A = 0 却是 x₀ = 0 处的极限，因为：
对于任意 的 ε > 0 ，总存在 δ = 1/ π > 0，使得 满足 |x - 0| = δ 的 x = ±1/ π 有 |sin(1/x) - 0| = |sin(±π)| = 0 < ε
为了避免这种的情况发生，我们要求：
随着 δ 的减小 δ' 是递减的，即，对于 任意 逼近距离 小于 δ 的逼近点 x，都有 f(x) 到 A 的 逼近距离 小于 δ'
翻译成数学语言，就是：
对于 任意 满足 0 < |x - x₀| < δ 点 x 都有 |f(x) - A| < δ'
用这个要求，修正前面的定义，最终 ε-δ 语言下 极限的定义：
如果 对于任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 满足 0 < |x - x₀| < δ 的点 x 都有 |f(x) - A| < ε，则 称 A 是 f(x) 在 x₀ 点的极限。
对于，左极限 或 右极限，我们只需要在上面定义中，加入 x < x₀ 或 x > x₀ 的条件就可以了。
与极限类似，我们也可以用 ε-δ 语言 来描述 前面的 函数的一点连续性：
给定 f(x) 上的一点 x₀，如果 对于任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 满足 |x - x₀| < δ 的点 x 都有 |f(x) - f(x₀)| < ε，则 f(x) 在 x₀ 点处连续。
这里允许 x = x₀ （区别于 极限的定义）有两方面原因：
已经规定了 x₀ 是 f(x) 上的点，即，x₀ ∈ E 存在；
为了让 孤立点 是 连续点。
到此为止，我们所讨论的 函数连续性 仅仅是对 一元函数而言的，那么多元函数的 连续性 又是什么呢？在接下来的第四个话题中，我们来讨论这个问题。
一个 m 元函数 记为 f: E → R (E ⊆ Rᵐ)，其中，
称为 m 维欧氏（向量）空间，R¹ = R 就是 实数空间。
注意：这里 变量 的上标 和 变量 的 下标 一样，表示 序号。
也就是说，多元函数 f(x) = f(x¹, x², ..., xᵐ) 就是以 向量 x = (x¹, x², ..., xᵐ) 为 变量的 函数。
设 x₀ = (x¹₀, x²₀, ..., xᵐ₀) ∈ E，并且 x₀ 周围的 定义域 连续性。
我们，定义 x → x₀ 为：
x¹ → x¹₀, x² → x²₀, ..., xᵐ → xᵐ₀
其中 个变量 的 无限逼近 是 独立的，这保证了 向量 x 可以从任何方向 逼近 向量 x₀ 。
这样以来，前面 一点连续的第一个定义中极限条件，对于 多元函数，就解释为：
接着，我们在 Rᵐ 中定义 向量 x 与 x₀ 之间的 距离为：
| x - x₀| = √[(x¹ - x¹₀)² + (x² - x²₀)² + ... + (xᵐ - xᵐ₀)²]
注意：这里 () 的上标 表示指数。
这样以来，前面一元函数一点连续的 ε-δ 语言 描述 对于多元函数依然有效。
多元函数 的连续性，依然是 对 E 内部而言的，忽略 E 本身的 不连续部分。
到这里，我们的升级并没有结束。既然 向量可以作为 函数的 变量，那么 就可以 作为 函数的 值，这样的函数 称为 向量函数。
多元向量函数 f: E → Rⁿ (E ⊆ Rᵐ)，可以认为是 n 个 m元函数 的向量，即，
f(x) = (f¹(x), f²(x), ..., fⁿ(x))
于是，前面 一点连续的第一个定义中极限条件，对于 多元函数，就解释为：
而，上面已经定义了 距离，故 一点连续的 ε-δ 语言 描述，对于 多元向量函数 也是无缝 一致。
下面，以最简单的多元向量函数——复函数 为例，来看看 上面抽象讨论的 具体面貌。
一个复函数，记为 f(z) : C → C ，其中 复平面 C 二维平面 R² 的扩展，具有 R² 的完全性质。复函数 可以写为：
f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
它将 一个复平面 上的 任意 点 z₀ = x₀ + iy₀ 映射为 另一个复平面 上的点 f(z₀) = u(x₀, y₀) + iv(x₀, y₀)，同时，将整个前一个复平面 映射为 后一个复平面的一部分。
点 z₀ 附近 的连续或间断情况如下：
根据，前面讨论，无限逼近 z → z₀ 解释为 x → x₀, y → y₀。
极限连续条件：
在这里的意思是：z 从任意方向 无限接近 z₀ 时，f(z) 都会无限接近 f(z₀)， 解释为：
用 ε-δ 语言 描述为：
对于任意 实数 ε > 0，都存在 实数 δ > 0，使得 对于一切 |z - z₀| < δ 的 复平面上的 点 z 都有 |f(z) - f(z₀)| < ε。
其中，复数间距离定义为：
|z - z₀| = √[(x - x₀)² + (y - y₀)²]
前一个话题中，提到 多元函数 定义域 E 的连续性，我们 并没有深究，其实这里是有问题的，在接下来的 第五个话题中，我们来讨论这个。
首先，我们思考：一条线 上缺失点，则 这条线 一定断开，不再连续，但，一个 平面 上 缺失点，则 只能 说明 这个平面 有 破洞，不再完整，不能说明 平面 不连续，更高维度的空间也是如平面一样。因此，对于 任意维度空间 V，来说，我们用 完整的概念 来代替 连续，称为 空间 V 的完备性。可以认为，完备性 是 连续概念的 升级， 一维空间的 完备性 就是 连续性。
其实，多元函数，也已经不仅仅局限是一条曲线了，它们可能是曲面 或 超曲面，其所谓 连续性也只是表示 曲面 上没有破洞 ，即， 完整之意，但 为了 兼容性，我们依然 称之为 函数连续性。
其次，我们 第一个话题 中讨论的 数集 K 的 连续性定义，默认要求 K 中元素 是可以排除一条直线，而高维度的空间是 平面 或 超平面，根本就不是 直线，因此 这个定义无法 被 完备性 使用，我们需要 重新寻找，一种新的方法，来判定 空间中 是否有 点的缺失。
要 判定 空间 V 中 某个点 A 是否缺失，我们首先要 指向 这个点 处，前面 极限的无限逼近 是一个好的 思路，
如果 我们 可以找到： 一个 函数 f: E → V（E ⊆ R），当 x 无限逼近 x₀ 时，f(x) 无限逼近 某处，则
如果 V 在 该处 没有缺失，对应 点 A，则 f(x) 在 x₀ 点的极限 存在，就是 A；
如果 V 在 该处缺失，则 f(x) 在 x₀ 点没有极限；
如果，判别 函数 f(x) 是 无限逼近 某处 呢？原来的 ε-δ 语言下的 判别标准：
对于任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 满足 0 < |x - x₀| < δ 的点 x 都有 |f(x) - A| < ε
显然不行，因为 我们 无法 确定 A 点 是否存在，不过我们可以对这个判别标准，进行修改：
对于 任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 满足 0 < |x - x₀| < δ 的任意两点 x = x₁, x₂ 都有 |f(x₁) - f(x₂)| < ε
这个新判别标准，避免了 A 的出现，但又 可以证明 与原判别标准 等价，堪称绝妙。
至此，我们就有了 V 完备性的一个粗糙条件，
任意一个 在 x₀ 满足 新判别标准 函数 f(x): E → V，都在 x₀ 处 有极限
这个条件有些复杂，可以做进一步简化，我们 固定 x₀ = ∞，让 E 为 自然数集 N 并令，
a₀ = f(0), a₁ = f(1), ...., a_n = f(n), ...
这样 我们就将 函数 f(x) 转化为 序列 a₀, a₁, ....，函数 f(x) 在 x₀ 处是否极限，转化为 序列 a₀, a₁, .... 是否收敛。对于序列 新判别标准也更简单：
对于 任意 ε > 0，都存在 自然数 N ，使得 任意 自然数 m, n > N 都有 |a_m - a_n| < ε
称，满足这个条件的序列为基本列。于是 空间 V 完备性的 最终定义为：
如果 V 中任意基本列 都是 收敛列，则称 V 是完备的。
这个定义，仅仅要求 V 中定义有距离 |a_m - a_n|，我们前面已经定义了 欧氏空间 Rᵐ 中的 距离，因此 这个定义可以用于 判断 欧氏空间 的 子集 E 的 完备性。
空间 V 中的距离，是 V 上的 二元函数 d(x, y): V × V → R，它满足：
正定性：d(x, y) ≥ 0，d(x, x) = 0；
对称性：d(x, y) = d(y, x)；
三角不等式：d(x, y) + d(y, z) ≤ d(x, z)；
我们称 定义有 距离函数 的空间 V 为 距离空间，记为 (V, d)。可以验证前面定义 的 距离 满足上面的条件。
空间完备性定义，对于任意一个距离空间都适用。
注意：一个空间可以定义多种距离函数，例如 Rᵐ 中也可以这样定义距离：
d(x, x₀) = |x¹ - x¹₀| + |x² - x²₀| + ... + |xᵐ - xᵐ₀|
上一个话题 引入了 距离空间 的概念，如果我们回顾，前面 多元向量函数的 ε-δ 语言所描述 的 连续性 定义，就会发现，这个定义也仅仅依赖于 距离。这说明，对于 任意距离空间 (V, dᴠ) 到 (W, dᴡ) 的映射 f: V → W，我们都可以定义其一点连续性为：
如果 对于任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 满足 dᴠ(x, x₀) < δ 的点 x 都有 dᴡ(f(x) - f(x₀)) < ε，则 f(x) 在 x₀ 点处连续。
这样 我们就将 函数的连续性 推广为 距离空间间映射的连续性。到这里，大家不禁会问：有没有比 距离空间 更 一般的空间 呢？如果有，这个空间上映射的连续性 又是如何定义的呢？ 接下来的第六个话题，我们来讨论这个问题。
让我们回到最初，讨论 实函数 的地方！
对于 实函数 f(x) 定义域 E 中 的 任意集合 U， 定义 U 在 f 下的像 为：
f(U) = {y : ∃ x ∈ U，f(x) = y}
然后，再仔细观察比较，f(x) 在 x₀ 点，两边断开 的情况，
以及 两边连贯 的情况，
我们就会发现：
如果 x₀ 是 间断点，则 存在 真包括 f(x₀) 的区域 V，对于 任意 真包括 x₀ 的 区域 U 都 无法 使得 U 的像 f(U) 包含 在 V 内；
如果 x₀ 是 连续点，则 对于任意 真包括 f(x₀) 的区域 V，都 存在 真包括 x₀ 的 区域 U，使得 U 的像 f(U) 包含 在 V 内，
其中，区域 U 真包括 x₀ ，的意思是： U 包括 x₀ 但不仅仅 包括 x₀。
这里必须是真包括，因为，如果 允许 U 只包括 x₀，即， U = {x₀} ，则 f(U) = {f(x₀)} 显然包含于 V，于是，上面的 发现1 就不成立了。
考虑 包含 x₀ 的开区间 (a, b)，因为 a < x₀，根据 实数的稠密性，一定存在 x₁ 使得 a < x₁ < x₀，故 (a, b) 一定不仅仅包括 x₀，于是，要让 U 真包括 x₀，我们只需要让 U 包括 包含 x₀ 的开区间 (a, b) 就可以了。我们称 包括 x₀ 的某个开区间 的区域 为 x₀ 的邻域。
对上面的发现2进行整理，我们就可以得到 实函数一点连续的第二个定义：
如果 对于任意 f(x₀) 的邻域 V，都 存在 x₀ 的 邻域 U，使得 f(U) ⊂ V，则 称 函数 f(x) 在 x₀ 点连续。
若，令 V = {y : |y - f(x₀)| < ε}，U = { x : |x - x₀| < δ }，则 上面的定义 其实就是 第一个定义的 ε-δ 语言 描述了。
对于多元向量函数，因为 平面，超平面 没有 区间一说，所有，我们用 开集 代替 开区间，重新定义邻域如下：
包括 x₀ 的某个开集 的区域 称为 x₀ 的邻域。
至此，这第二个定义，就可以无缝迁移到 元向量函数 上了。同样以 前面的复函数 f(z) 为例，观察比较 z₀ 附近 连续 和 间断的 情况，
这与前面的发现完全一致。
这个全新的一点连续定义仅仅依赖邻域的概念，而邻域又是由开集来定义，所以 任意集合 只要 在其中 指定 开集， 我们就可以得到 其上 映射连续性了。
指定了开集的 集合 X，被称为 拓扑空间，如果用 τ 表示 X 中 全体开集组成的 子集族，则 拓扑空间 记为 (X, τ)。开集 是 开区间 的拓广 概念，它需要满足如下条件：
全集 X 与 空集 ∅ 都是开集；
任意 多个 开集的 并 依然是开集；
任意 两个 开集 的 交 依然是开集；
我们，可以 证明 拓扑空间 是比 距离空间 更广泛的 空间。
拓扑空间之间的 映射，称为 拓扑映射，其 一点连续性，由第二个定义提供。
至此，关于 映射的一点连续性，基本上算是讨论清楚了，接下来的第七个话题，让我们来讨论一下映射整体连续性问题。
类似前面的 连续函数 概念，我们定义 映射的整体连续性，如下：
如果 映射 f 在其 定义域 中 每一点 都连续，我们称 f 是连续映射。
这个定义依赖，一点连续性！其实，对于 拓扑空间 (X, τᵪ) 到 (Y, τᵧ) 的 拓扑映射 f: X → Y，我们也可以 用开集 来直接定义 其整体连续性。
对于 映射 f 的 值域 任意 区域 V ⊆ Y，定义 V 在 X 中的 原像 为：
f⁻¹(V) = {x ∈ X : f(x) ∈ V}
再回到最开始，观察比较，连续实函数 与 非连续实函数，
我们发现：
对于连续函数：任何开区间（开集） A 的 原像 f⁻¹(A) 依然是 开区间（开集）；
对于非连续函数：存在开区间（开集） A 的 原像 f⁻¹(A) 不是 开区间（开集）。
对上面的 发现1，进行整理，我们就到如下 关于 拓扑映射整体连续性的 定义：
如果 拓扑映射 f，使得 Y 中的任意 开集 A 的原像 f⁻¹(A) 依然是 X 的开集，
即，
∀ A ∈ τᵧ ⇒ f⁻¹(A) ∈ τᵪ
则称 f 为 连续映射。
除此之外，我们将 闭区间 推广为 闭集 ，定义如下：
开集关于全集X的补集，
然后，再根据进一步观察比较，闭集于上面的情况，
不难发现：
对于连续函数：任何闭区间（闭集） A 的 原像 f⁻¹(A) 依然是 闭区间（闭集）；
对于非连续函数：存在闭区间（闭集） A 的 原像 f⁻¹(A) 不是 闭区间（闭集），
这说明，我们将上面 拓扑映射整体连续的定义 中的 开集 替换为 闭集 后 依然 有效。
上面的整体连续性是基于一个一个点的，可以称为 逐点连续，下面第八个话题，我们讨论另外一种 整体连续性——一致连续。
考虑实函数 f: E → R (E ⊆ R)，如果 对于任意 实数 ε > 0，都存在 实数 δ > 0，使得 对于一切 |x₁ - x₂| < δ 的 x₁ 和 x₂ 都有 |f(x₁) - f(x₂)| < ε，我们就称 f 是一致连续的。
我们只要将 x₂ 替换为 x₀ 并固定，则 上面的定义 就是 x₀ 点连续的定义，然后 再放开 x₀，则 上面的定义 保证了 每个 x₀ 处的连续性，进而，也就保证了 逐点连续，因此 一致连续的 一定是 逐点连续的。
但是反过来，逐点连续 不一定是一致连续了。考虑 前面那个 函数 f(x) = sin(1/x)，我们令
E = (0, π]，x₁ = 1 /(kπ) , x₂ = 1/(kπ + π/2)，k 是自然数，
则 有，
|x₁ - x₂| = 1/[(2k + 1)kπ]
|f(x₁) - f(x₂)| = |sin(kπ) - sin(kπ + π/2)| = | 0 ± 1 | = 1
这样以来，对于 存在 实数 1 > ε > 0，对于 任意 δ > 0，由于 E 中的点 x₁ 和 x₂ 可以无限小， 于是 总是 存在 k 使得 |x₁ - x₂| = 1/[(2k + 1)kπ] < δ ，但 |f(x₁) - f(x₂)| = 1 > ε。这说明 f(x) = sin(1/x) 在 E 上 不是一致连续的。
那么，什么情况下，逐点连续 一定是 一致连续 呢？
由于 f 逐点连续，则意味着 给定 任意 ε > 0， 对于 每个 x₀ ∈ E，都存在 δ_x₀ > 0 使得 满足 |x - x₀| < δ_x₀ 的点 x 都有 |f(x) - f(x₀)| < ε/2。
令，V_x₀ = { x ∈ E : |x - x₀| < δ_x₀/2}，因为 每个 x₀ ∈ E 都属于一个 V_x₀ 所以，
如果，能 从 E 中找到 有限 n 个 x₀： x₀¹，x₀² , ..., x₀ⁿ 保证：
则，令
δ = min {δ_x₀¹, δ_x₀², ..., δ_x₀ⁿ } / 2
由于， 每个 δ_x₀ᵏ > 0， 而 n 是有限的，所以 δ > 0。
注意：这里必须保证 n 有限因为，当 n 无限时，即便是 每个 δ_x₀ᵏ > 0，它们的最小值依然可以 为 0，例如：
min {1, 1/2, ..., 1/n, ... } = 0
对于 任意满足 |x₁ - x₂| < δ 的 x₁ 和 x₂，中 必然 有 x₁ 属于 某个 δ_x₀ᵏ，满足，
|x₁ - x₀ᵏ| < δ_x₀ᵏ/2
根据 距离的三角不等式：
|a - b| ≤ |a - c| + | b - c|
有，
|x₂ - x₀ᵏ| ≤ |x₁ - x₂| + |x₁ - x₀ᵏ| < δ + δ_x₀ᵏ/2 ≤ δ_x₀ᵏ
由 |x₁ - x₀ᵏ| < δ_x₀ᵏ/2 < δ_x₀ᵏ 与 |x₂ - x₀ᵏ| < δ_x₀ᵏ 分别可得到，
|f(x₁) - f(x₀ᵏ)| < ε/2 与 |f(x₂) - f(x₀ᵏ)| < ε/2
再次使用 三角不等式，就得到：
|f(x₁) - f(x₂)| ≤ |f(x₁) - f(x₀ᵏ)| + |f(x₂) - f(x₀ᵏ)| < ε
这样，就推导出了 一致连续。
在推导过程中，我们要求：
可以从 E 的 任何 一个开区间（开集）的覆盖（简称 开覆盖） V = {V_x₀ : x₀ ∈ E}， E ⊆ ∪V 中找到 有限个元素的子集 W = {V_x₀¹, V_x₀², ..., V_x₀ⁿ} ⊆ V 依然是 E 的覆盖 E ⊆ ∪W。
我们称 满足上面要求的 集合 E 为紧致的。
数学家证明了：任意 闭区间 都是 紧致的！所以说，闭区间上的 连续函数 一定是 一致连续的。
如果 从新令 E = [π, 2π]，则 E 是一个闭区间，于是之上的 连续函数 f(x) = sin(1/x) 这会就变成 一致连续的了。前面，由于 E 中的点 x₁ 和 x₂ 已经不可以无限小了，于是前面 的反例 也就不成立了。
不知不觉，已经到第九个话题，这里我们讨论与连续概念相关的间断和连通问题。
考虑 实函数上 f 上任意一点 x₀ ，x₀ 与 右（左）边断开，有两种情况，
x₀ 的右（左）极限存在，但不等于 f(x₀)，这种断开 称为 第一类间断；
x₀ 的右（左）极限根本不存在，这种断开 称为 第二类间断；
设 x₀ 是间断点，如果 x₀ 只包含第一类间断的 间断点，称 x₀ 为第一类间断点，否则 称 x₀ 为第二类间断点。
如果 第一类间断点 的 左极限 = 有极限，则称 其为 可去间断点。
单调函数如果有间断点 则其必然是第一类间断点。
前面我们用 完备性 替换连续性来 描述 空间是否有漏洞问题，如果空间的漏洞如刀痕，则这些刀痕 是有可能 将 整个空间 分割的，这就牵扯到了 空间的 连通性问题。
对于 一个拓扑空间 (X, τ) 可以有两个不同的连通：
如果 X 不能分割为 两个 不相交的开集的并集，即，
∄ A, B ∈τ ⇒ A ∩ B = ∅ ∧ A∪ B = X
则，称 X 是连通的；
如果 X 中任意两点 x, y 都存在 从 x 到 y 的 道路，即，
∀ x, y ∈ X ⇒ ∃ r: [0, 1] → X ⇒ r(0) = x ∧ r(1) = y
则，称 X 是道路连通的；
拓扑空间之间的 连续映射 f: X → Y，可以保持 连通性，即，如果 X 是 连通的，则 其 在 Y 中的像 f(X) 也是 连通的。连续映射 也可以保持 道路连通性 以及前面的 紧致性。这些可以被 连续映射 保持的性质，称为 拓扑性质。
最后，在第十个话题，我们对以上讨论 进行补充与总结。
首先，小石头将以上讨论中所提到的主要概念绘制成关系图如下，方便大家理清。
其次，前面提到的 有理数（实数）的 稠密性，与 有理数 在 实数 中 稠密 是两个概念。
我们说 拓扑空间 X 的 子集 A 在 X 中稠密，是指 对于 X 中的每个点 x 都有 A 中的序列 a₁, a₂, ...， 收敛于 x（一般定义为： A 的闭包 Ā = X）。
有理数 在 实数 中 是稠密，因为 对于 每个实数 x，
要么表示为 有限小数，例如：x = 1/2 = 0.5，则， 收敛于 x = 1/2 的序列 就是 0.5, 0.5, ...；
要么表示为 无限循环小数，例如： x = 1/3 = 0.3⋯，则，收敛于 x = 1/3 的序列 就是 0.3, 0.33, 0.333, ...；
要么表示为 无限不循环小数，例如： x = π = 3.14159⋯，则，收敛于 x = π 的序列 就是 3.1, 3.14, 3.141, ...；
其三，连续性与可导性 之间，靠极限关联。由于，f(x) 在 x₀ 点的导数定义为：
如果 f(x) 在 x₀ 处不连续，则 当 x 趋近 x₀ 时，|x - x₀| 趋近 0 ，|f(x) - f(x₀)| 不趋近 0，这导致 f’(x₀) = ±∞ ，即， f(x) 在 x₀ 处不可导。
以上结论的逆反命题，就是：
f(x) 在 x₀ 处可导 则 f(x) 必然在 x₀ 处连续。
反之则不成立！大名鼎鼎的 Weierstrass 函数，就是处处连续处处不可导的极端例子。
其四，函数连续性 可以在 函数的代数运算 上保持，即，连续函数的 加减乘除 依然是 连续函数。微分，积分 也可以保持 函数连续性。逐点收敛的函数序列，也可以保持 函数连续性（而函数上 的可导性 与 可积性，则 要求 是一致收敛）。
函数连续性还有一些性质（包括 在 中值定理 中的 作用），这里篇幅有限无法再展开讨论了，以后有机会再说。
最后，以上讨论以理解概念为主，小石头几乎忽略了能够被省略的证明，如果大家对有些命题和定义有疑问，可以参考 《数学分析》。
同时为了，让概念更容易理解，以上讨论也 牺牲了 严谨性，有写论述可能不是那么数学。
还有，小石头讨论所选的 切入角度 和 推进，都是 针对 学《高等数学》的条友而设计的，如果你是学《数学分析》可能没有阅读的必要，如果你没有学过 《高等数学》可能会引起不适合，请谨慎阅读。
(小石头毕竟数学水平有限，出错在所难免，欢迎大家批评指正！)
初中常见的修辞和作用是什么？
我是张旭语文，很愿意与您一起探讨问题的实质！
修辞手法，是初中语文中要求学生掌握的语法知识，中考语文试题中都有涉及修辞手法的考题。
学习、掌握修辞手法有两个用途。
一个是写作文时，为了让语言生动、形象、铿锵有力，要使用修辞手法才能达到这样的效果。
一个是分析文学作品时，要对作品的语言特色进行评判时，要运用到修辞知识。
初中语文学习中，常见的修辞手法及其作用如下：
01、比喻。
定义是：
用跟甲事物有相似之点的乙事物来描写或说明甲事物。
作用是：
A、可以使事物生动形象具体，以此引发读者联想和想象。
B、使语言文采斐然，富有很强的感染力。
C、使深刻的、抽象的道理浅显、具体地表达出来。
类型：
A、明喻。结构为：甲像（好像、仿佛、似等）乙。
B、暗语。结构为：甲是（成为、变成等）乙。
C、借语。结构为：乙。
举例：
叶子（本体）出水很高，像（喻词）亭亭的的裙（喻体）。（朱自清《荷塘月色》）
02、拟人。
定义是：
把事物人格化，将本来不具备人的动作和感情的事物变成和人一样具有动作和感情的样子。
作用是：
A、生动形象地表达出作者的情感。
B、让读者感到所描写的物体显得更活泼、亲近。
C、使文章更加生动形象。
举例：
波浪一边歌唱，一边冲向高空去迎接那雷声。（高尔基《海燕》）
03、夸张。
定义是：
是为了达到某种表达效果的需要，对事物的形象、特征、作用、程度等方面着意夸大或缩小。
作用是：
A、用言过其实的方法，突出事物的本质，或加强作者的某种感情，强调语气，烘托气氛。
B、能引起读者丰富的想象、联想和强烈共鸣。
举例：
五岭逶迤腾细浪，乌蒙磅礴走泥丸。（《七律·长征》）
04、排比，
定义是：
是一种把结构相同或相似、意思密切相关、语气一致的词语或句子成串地排列在一起。
作用是：
A、使行文有节奏感，琅琅上口，有极强的说服力。
B、能增强文章的表达效果和气势，深化中心。
举例：
山朗润起来了，水涨起来了，太阳的脸也红起来了。（朱自清《春》）
05、对偶。
定义是：
是用字数相等、结构相同、意义对称的一对短语或句子来表达两个相对应或相近或意思相同的修辞。
作用是:
A、语言凝练，句式整齐，音韵和谐，富有节奏感和音乐美。
B、使两方面的意思互相补充和映衬，加强语言的感人效果。
举例：
海内存知己，天涯若比邻。（王勃《送杜少府之任蜀州》）
06、设问。
定义是：
为了强调某部分内容，故意先提出问题，明知故问，自问自答。
作用是：
A、通过一问一答，强烈地表达了作者的情感并引起听者的深思
B、引出下文。
举例：
谁是最可爱的人呢？我们的战士，我觉得他们是最可爱的人。（魏巍《谁是最可爱的人》）
07、反问。
定义是：
是用肯定或否定疑问句的形式来表达否定或肯定的含义。反问是无疑而问，把要表达的确定意思包含在问句里
作用是：
A、加强语气，发人深思，激发读者感情，加深读者印象，增强文章的气势和说服力。
B、为文章奠定一种激昂的感情基调。
举例：
、墨索里尼不都在之前倒下去了吗？（闻一多《最后一次讲演》）
08、借代。
定义是：
指不直接把所要说的事物名称说出来，而用跟它有关系的另一种事物的名称来称呼它。
作用是：
可以引人联想，使语句拥有形象突出、特点鲜明、文笔精炼、具体生动的效果。
举例：
把名字刻入石头的，名字比尸首烂得更早。（臧克家《有的人》）
09、反复。
定义是：
是根据表达需要，有意让一个句子或词语重复出现。
作用是：
A、强调，增强语气或语势。
B、起到反复咏叹，表达强烈情感的作用。
C、使诗文的格式整齐有序，而又回环起伏，充满语言美。
举例：
沉默呵，沉默呵!不在沉默中爆发，就在沉默中灭亡。(鲁迅《记念刘和珍君》)
10、衬托。
定义是：
为了突出主要事物，用类似的事物或反面的、有差别的事物作陪衬。
作用是：
能突出主体，或渲染主体，使之形象鲜明，给人以深刻的感受。
举例：
桃花潭水深千尺，不及汪伦送我情。（李白 《赠汪伦》）
11、对比。
定义是：
是把具有明显差异、矛盾和对立的双方安排在一起，进行对照比较。
作用是：
可以突出好与坏、善与恶、美与丑的对立，给人极鲜明的形象和强烈的感受。
举例：
亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。（诸葛亮《出师表》）