求助一道复变函数题，题目如图,复变函数测验题详解

Q1：求解一道复变函数题，如图第二题

解：∵0<p<1，1-2pcosθ+p^2=(1-p)^2+2p(1-cosθ)，∴在0≤θ≤2π，1-2pcosθ+p^2不为0，积分有意义。　　设z=e^(iθ)，则丨z丨=1，dθ=dz/(iz)，2cosθ=(z^2+1)/z。　　∴原式=(1/i)∫(丨z丨=1)dz/[(1+p^2)z-p(z^2+1)]=(1/i)∫(丨z丨=1)dz/[(1-pz)(z-p)]。　　又，被积函数f(z)=1/[(1-pz)(z-p)]有两个一阶极点z=p、z=1/p，而z=1/p在丨z丨=1之外，∴Res[f(z),p]=lim(z→p)f(z)=1/(1-p^2)，　　∴原式=(1/i)*2πi/(1-p^2)=2π/(1-p^2)。供参考。

Q2：求解一道复变函数题，如图第四题

4、上半单位圆映射成单位圆辐角扩大2倍则所求映射为w＝z平方过程如下：

Q3：求解一道复变函数题，如图第四题第一步怎么得来

w=(z+1)/(z-1)将1,i,-1分别映成∞,-i,0,说明这个分式线性变换将上半圆周映成了负虚轴。同理显然将[-1,1]映成了负实轴。因此上半圆周被映成第三象限。当然了本题的解答显然是不自然的，最自然的做法，显然上半圆是Rokovsky函数的单叶性区域，直接用Rokovsky函数即可将其映成上半平面，最后再用分式线性变换将上半平面变为单位圆周。甚至先平方化为整个单位圆盘割掉一条半径，再用Rokovsky函数亦可

Q4：如图，复变函数与积分的一道题目，在线等

等价无穷小代换可以用来求乘积的极限，但在加减时，需要先计算出(sinx-tanx)/x ^ 3x趋近于0的极限。sinx=x O1(x)tanx=O2(x)sinx-tanx=O1(x)-O2(x)=o(x)[O1(x)O2(。因为这两个减法把所有已知的部分都抵消了，剩下的部分就是o(x)是未知阶的无穷小(只知道它比x高)，可能是x ^ 2的等价无穷小。这是极限为或x 3的等价无穷小。这时，极限是不变的。如果是x ^ 4的等价无穷小，那么极限为0。因此，当已知部分被加减变换抵消时，不能用等价无穷小代替，否则可以比较。假设sinx tanx=2x o(x)为0，有一些特殊情况，比如sinx-tanx/x x逼近0的极限。

Q5：一道复变函数留数的题目？

分享解决方案。sinxcos2x=(sin3x-sinx)/2，而被积函数是一个偶函数，原公式=(1/4) [ (-，) xsin3xdx/(1x)- (-，) xsinxdx。设f (z)=ze (imz)/(1z) (m=3，1)。根据柯西积分定理，存在[ (-，)xsinmxdx/(1x)=im[xe(imx)dx/(1x)]=im(2I)RES[f(z)，ZK]。另一方面，f(z)在上半平面只有一个一阶极点z=i。当m=3，RES [f (z)，ZK]=ie(-3)/(2i)；当m=1，RES [f (z)，ZK]=IE (-1)/(2i)时，原始公式= (1/e-1/e)/4。供参考。

Q6：求《复变函数与积分变换》题目答案，要详细步骤，题目如下图

解：设f(z)=(sinz)/[z(z-1)]。当z=0时，z=1，z(z-1)=0，都在2以内。但是sinz= [(-1) n] z (2n1)/(2n1)！n=0，1，…，，z=0不是f(z)的极点。在Z=2时，只有一个极点z1=1。根据留数定理，原公式=(2I)resf(Z1)=(2I)lim(zZ1)(z-Z1)f(z)=(2I)。供参考。