证明：若一个正整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被11整除，那么这个正整数能被11整除,如果有4个不同的正整数满足

Q1：证明：若一个正整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被11整除，那么这个正整数能被11整除？

10的偶数幂是1，100，10000.除以11后的余数都是1；10的奇数次幂是10，1000，100000.除以11后的余数都是10，即(-1)。对于一个数字，某个数字上的数字是多少，那么这个数字的余数除以11对于偶数是正数；对于奇数位，它是负的。对于整数，除以11的余数是奇数位上的数之和与偶数位上的数之和除以11之差的余数。因此，如果一个数的奇数位数的和与偶数位数的和之差能被11整除，那么这个数就能被11整除。例如，在数字87512中，2 5 8=15，1 7=8，15-8=7，然后8751211=(7955)…7。如果十位数增加7，千位数减少4，就会变成11的倍数。87582=11x796283512=11x7592 .

Q2：证明：一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被11整除，那么这个数就能被11整除

设原数＝（anan-1...a2a1a0)=an*10^n+ an-1*10(n-1) +.....+a2*10^2 +a1*10 +a0任取和式中的一项考察:Ai=ai*10^i，如果i是偶数，Ai＝ai +ai*9...9(偶数个9) 除以11的余数＝ai ，如果i是奇数，Ai＝-ai +ai*10..01(偶数个9) 除以11的余数＝-ai所以原数除以11的余数 与 所有偶数项ai值和 -所有奇数项ai之和 相同。所以待求证的命题成立。证毕

Q3：证明:若任意自然数的奇数位上的数字和等于偶数位上的数字和,则树能被11整除

Q4：用反证法证明如果一数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被11整出,那

设任意n位的个数为：AnAn-1…Ai…A2A1对I为奇数：可分解为AI * 10 (i-1)=AI * 9 … 9AI，其中9…9为i-1(偶数)9，9…9/11的商为909…09的形式(可单独证明)。如果I为偶数，则可分解为AI * 10 I=AI * 10…01-AI，其中10…01为i-2(偶数)零，10…01/11的商为909…091的形式(可单独证明)；当n为奇数时，AnAn-1…Ai…A2A1可分解为以下n个数：1)A1 2)A2*11-A2:第一项可被113) A3 * 99A3: I=3，I-1=2(偶数)9s，第一项可被114) A4 * 10000整除。第一项可以被11整除.I)当我是奇数：AI * 9.9ai: I-1(偶数)9s，第一项可以被11i整除)当I为偶数时：AI * 10.01-AI: n-2(偶数)0，第一项可以被11整除..第一项可以被11n和* 9整除.9an: n-1(偶数)个9，第一项可以被11整除。将从1)到n)的项相加，去掉可被11整除的项，从而得到：a1-a2a3-a4.-an-1an是奇数和偶数的和，如果它能被11整除的话。同样，当n是偶数时，n-1)、n)是n-1)和n-1 * 9.9 an-1: I=n-1，I-1=n-2(偶数)9，第一项可以被11n整除)an * 10.01-an: n-。

Q5：求证：一数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被11整除，那么这个数也能被11整除

设任意n位的个数为：AnAn-1…Ai…A2A1对I为奇数：可分解为AI * 10 (i-1)=AI * 9 … 9AI，其中9…9为i-1(偶数)9，9…9/11的商为909…09的形式(可单独证明)。如果I为偶数，则可分解为AI * 10 I=AI * 10…01-AI，其中10…01为i-2(偶数)零，10…01/11的商为909…091的形式(可单独证明)；当n为奇数时，AnAn-1…Ai…A2A1可分解为以下n个数：1)A1 2)A2*11-A2:第一项可被113) A3 * 99A3: I=3，I-1=2(偶数)9s，第一项可被114) A4 * 10000整除。第一项可以被11整除.I)当我是奇数：AI * 9.9ai: I-1(偶数)9s，第一项可以被11i整除)当I为偶数时：AI * 10.01-AI: n-2(偶数)0，第一项可以被11整除..第一项可以被11n和* 9整除.9an: n-1(偶数)个9，第一项可以被11整除。将从1)到n)的项相加，去掉可被11整除的项，从而得到：a1-a2a3-a4.-an-1an是奇数和偶数的和，如果它能被11整除的话。同样，当n是偶数时，n-1)、n)是n-1)和n-1 * 9.9 an-1: I=n-1，I-1=n-2(偶数)9，第一项可以被11n整除)an * 10.01-an: n-。

Q6：证明：一个正整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除，那么这个正整数能被11整除（不用同余

比如证明70345能被11整除，则70345=7*10000+0*1000+3*100+4*10+5 =7*(9999+1)+0*(1001-1)+3*(99+1)+4*(11-1)+5 =7-0+3-4+5+(7*9999+0*1001+3*99+4*11) =(7+3+5)-(0+4)+(7*909+0*91+3*11+4)*11因为(7*909+0*91+3*11+4)*11能被11整除，所以只要看(7+3+5)-(0+4)能否被11整除，而(7+3+5)-(0+4)又正好是奇数位数字之和与偶数位数字之和的差。