有问题就有答案
Q1：简述我们所学积分(定积分,二重三重积分,第一类第二类曲线积分)的联系和区别
我拿出之前回答过的文章1一个二重积分(定积分):只有一个自变量y=f(x)，当被积函数为1时，是直线的长度(自由度较大)(ab) dx=L(直线的长度)，当被积函数不为1时，是面积(规则) (a b) f (x)2它们是圆盘法：v= (a b) f (x) dx壳法；v=2(ab)xf(x)dx计算方法，包括交换积分法、极坐标法等。和定积分的联系就多了4不知道 ( ) (1/2) [a ()] d=a(极坐标中的平面面积)5有两个自变量，z=f(x，y)6当被积函数为1时，它是面积(较大自由度) (a b) .即利用直角坐标法、极坐标法、雅可比代换法等极坐标变换计算图形(规则)的体积和旋转体的体积(ab) (cd) dxdy=V(旋转体的体积):{x=rcos {y=rsin { ，最大值7Rsin) r drd三重积分：当有三个自变量u=f(x，y，z)且被积函数为1时，即为体积，即旋转体的体积(最大自由度)(ab)(cd)(ef)dxdydz=v .具有物理意义的计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球坐标法， 雅可比代换法及其他极坐标变化(柱坐标):{ x=rcos{ y=rsin{ z=z { hrk {，最大范围：028 f(rcos，rsin，Z)r dzrd(球面坐标)极坐标变化：{ x=rsincos{ y=rsinsin{ Z=rcos{ hrk { ab，最大范围：0 { ，最大范围：0 29(hk) f(rsincos，rsinsin，rcos ) rsin drd d ，所以级别越高，能得到的空间范围越自由越广，但越复杂越难，限制也比上面两个少，提升了对空间的想象10多重积分可以转化成几个定积分，每个定积分可以控制不同的拉伸方向11比如a x b中f(x)和g(x)围成的面积，其中定积分计算f(x) g(x)的面积公式为(ab) [f(x)-g(x)] dx，但升级后的二重积分，面积公式为12一个二重积分(定积分):投影到zox平面，Get z=x，让z=a-x=a，用圆壳法v=2RH=2(0a)xzdx=2(0a)xdx=2(1/4)[x]|(0a)13要将z=x y投影到xoy平面，x y=a就是求 (d) (x y) dxdy，其中d是x y=av= (d) (x y) dxdy= (0 2) d 14这一步，你会发现步骤和定积分=2 (1/4) [r] | (0 a)= a/2是一样的15三重积分：旋转体的体积，被积函数为116圆柱坐标切片法可以直接得到：dz:x y=zv=()dxdydz=(0a)dzdzdxdy=(0a)z dz=17dxdyz=(02)d(0a)r dr(ra)dz=2(0a)r(a-r)dr=2[ar/2-(1/4]18
说了这么多，我们再多说一点：如果你继续学习，你会发现计算(平面)面积和(曲面)体积比的公式很容易学，计算曲面的公式有“曲线积分”和“曲面积分”，分为“第一类”和“第二类”19当被积函数为1时，第一类曲线积分是计算20比较积分只能求直线长度(C) ds=L(曲线长度)21当被积函数不是1时，就是求以圆弧为底线的曲面的面积(C) f(x，y) ds=A(表面积)22当被积函数为1时，第一类曲面积分是求曲面的面积23与二重积分相比，我们只能求出平面面积 ( z) dS=a(表面积)，自由度大于第一类曲线积分，以及物理应用，如表面质量、重心、转动惯量、速度场通过表面的流速等24还有第二种曲线25
Q2：高手总结总结一下二重积分,三重积分,还有曲线积分,曲面积分它们的区别和用法.
我之前回答过,也有一份存档.满意请采纳,都是自己的经验. 我从头说起吧,从基本的一元积分说到第二类曲面积分. 关于重积分的算法： 一重积分(定积分)：只有一个自变量y = f(x) 当被积函数为1时,就是直线的长度(自由度较大) ∫(a→b) dx = L(直线长度) 被积函数不为1时,就是图形的面积(规则) ∫(a→b) f(x) dx = A(平面面积) 另外,定积分也可以求规则的旋转体体积,分别是 盘旋法(Disc Method)：V = π∫(a→b) f²(x) dx 圆壳法(Shell Method)：V = 2π∫(a→b) xf(x) dx 计算方法有换元积分法,极坐标法等,定积分接触得多,不详说了 ∫(α→β) (1/2)[A(θ)]² dθ = A(极坐标下的平面面积) 二重积分：有两个自变量z = f(x,y) 当被积函数为1时,就是面积(自由度较大) ∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = A(平面面积) 当被积函数不为1时,就是图形的体积(规则)、和旋转体体积 ∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = V(旋转体体积) 计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等 极坐标变换：{ x = rcosθ { y = rsinθ { α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π ∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ,rsinθ) r drdθ 三重积分：有三个自变量u = f(x,y,z) 被积函数为1时,就是体积、旋转体体积(自由度最大) ∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = V(旋转体体积) 当被积函数不为1时,就没有几何意义了,有物理意义等 计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等 极坐标变化(切片法)：{ x = rcosθ { y = rsinθ { z = z { a ≤ z ≤ b { 0 ≤ r ≤ z₁ { α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ π ∫(a→b) ∫(α→β) ∫(0→z₁) f(rcosθ,rsinθ,z) r drdθdz 特别地,当f(x,y,z)可表达为f(z)时、 有∫∫∫Ω dxdydz = ∫(a→b) f(z) [∫∫Dz dxdy] dz = ∫(a→b) f(z)(横截面Dz的面积) dz 横截面Dz的面积的表达式是关于z的函数. 极坐标变化(柱坐标)：{ x = rcosθ { y = rsinθ { z = z { h ≤ r ≤ k { α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π ∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z₁→z₂) f(rcosθ,rsinθ,z) r dzdrdθ 极坐标变化(球坐标)：{ x = rsinφcosθ { y = rsinφsinθ { z = rcosφ { h ≤ r ≤ k { a ≤ φ ≤ b、最大范围：0 ≤ φ ≤ π { α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π ∫(α→β) ∫(a→b) ∫(h→k) f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ) r²sin²φ drdφdθ 重积分都可以利用对称性来化简： 对于一重积分： 若被积函数关于y轴对称. 则∫(- a→a) f(x) dx = {0,若f(x)关于x是奇函数 {2∫(- a→a) f(x) dx,若f(x)关于x是偶函数 若被积函数关于x轴对称. 则∫(- b→b) f(y) dy = {0,若f(y)关于y是奇函数 {2∫(- b→b) f(y) dy,若f(y)关于y是偶函数 对于二重积分： 若被积函数关于y轴对称. 则∫∫D f(x,y) dxdy = {0,若f(x,y)关于x是奇函数 {2∫∫D₁ f(x,y) dxdy,若f(x,y)关于x是偶函数,D₁是第一挂限 若被积函数关于x轴对称. 则∫∫D f(x,y) dxdy = {0,若f(x,y)关于y是奇函数 {2∫∫D₁ f(x,y) dxdy,若f(x,y)关于y是偶函数,D₁是第一挂限 特别地,当积分区域是关于两个坐标轴都对称时. 而被积函数也是偶函数.则有∫∫D x² dxdy = ∫∫D y² dxdy = (1/2)∫∫D (x² + y²) dxdy 对于三重积分： 若积分域Ω关于zox面对称. 则∫∫∫Ω f(x,y,z) dxdydz = {0,若f(x,y,z)关于x是奇函数 {2∫∫Ω₁ f(x,y,z) dxdydz,若f(x,y,z)关于x是偶函数,Ω₁是第一挂限 若积分域Ω关于yoz面对称. 则∫∫∫Ω f(x,y,z) dxdydz = {0,若f(x,y,z)关于y是奇函数 {2∫∫Ω₁ f(x,y,z) dxdydz,若f(x,y,z)关于y是偶函数,Ω₁是第一挂限 若积分域Ω关于xoy面对称. 则∫∫∫Ω f(x,y,z) dxdydz = {0,若f(x,y,z)关于z是奇函数 {2∫∫Ω₁ f(x,y,z) dxdydz,若f(x,y,z)关于z是偶函数,Ω₁是第一挂限 特别地,当积分区域是关于三个坐标轴都对称时. 而被积函数也是偶函数.则有∫∫∫Ω x² dV = ∫∫∫Ω y² dV = ∫∫∫Ω z² dV = (1/3)∫∫∫Ω (x² + y² + z²) dV 所以越上一级,能求得的空间范围也越自由,越广泛,但也越复杂,越棘手,而 且限制比上面两个都少,对空间想象力提高了. 重积分能化为几次定积分,每个定积分能控制不同的伸展方向. 又比如说,在a ≤ x ≤ b里由f(x)和g(x)围成的面积,其中f(x) > g(x) 用定积分求的面积公式是∫(a→b) [f(x) - g(x)] dx 但是升级的二重积分,面积公式就是∫(a→b) dx ∫(g(x)→f(x)) dx、被积函数变为1了 用不同积分层次计算由z = x² + y²、z = a²围成的体积? 一重积分(定积分)：向zox面投影,得z = x²、令z = a² --> x = ± a、采用圆壳法 V = 2πrh = 2π∫(0→a) xz dx = 2π∫(0→a) x³ dx = 2π • (1/4)[ x⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2 二重积分：高为a、将z = x² + y²向xoy面投影得x² + y² = a² 所以就是求∫∫(D) (x² + y²) dxdy、其中D是x² + y² = a² V = ∫∫(D) (x² + y²) dxdy = ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r³ dr、这步你会发觉步骤跟一重定积分一样的 = 2π • (1/4)[ r⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2 三重积分：旋转体体积,被积函数是1,直接求可以了 柱坐标切片法：Dz：x² + y² = z V = ∫∫∫(Ω) dxdydz = ∫(0→a²) dz ∫∫Dz dxdy = ∫(0→a²) πz dz = π • [ z²/2 ] |(0→a²) = πa⁴/2 柱坐标投影法：Dxy：x² + y² = a² V = ∫∫∫(Ω) dxdydz = ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r dr ∫(r²→a²) dz = 2π • ∫(0→a) r • (a² - r²) dr = 2π • [ a²r²/2 - (1/4)r⁴ ] |(0→a) = 2π • [ a⁴/2 - (1/4)a⁴ ] = πa⁴/2 三重积分求体积时能用的方法较多,就是所说的高自由度. 关于曲线积分和曲面积分的算法： 如果再学下去的话,你会发现求(平面)面积、体积 比 求(曲面)面积的公式容易 学完求体积的公式,就会有求曲面的公式 就是「曲线积分」和「曲面积分」,又分「第一类」和「第二类」 当被积函数为1时,第一类曲线积分就是求弧线的长度,对比定积分只能求直线长度 ∫(C) ds = L(曲线长度) 被积函数不为1时,就是求以弧线为底线的曲面的面积 ∫(C) f(x,y) ds = A(曲面面积) 第二类曲线积分的应用有在力场上沿着曲线L所做的功等等 第一类对弧长的曲线积分的算法： 若被积函数是参数方程x = x(t),y = y(t) 则∫(L) f(x,y) ds = ∫(a→b) f[x(t),y(t)] √[x"(t)² + y"(t)²] dt 若被积函数是y = y(x) 则∫(L) f(x,y) ds = ∫(a→b) f[x,y(x)] √[1 + y"(x)²] dx 若被积函数是r = r(θ) 则∫(L) f(x,y) ds = ∫(α→β) f(rcosθ,rsinθ) √[r²(θ) + r"(θ)²] dθ 若积分域关于y轴对称. 则∫(L) f(x,y) ds = {0,若f(x,y)关于x是奇函数. {2∫(L₁) f(x,y) ds,若f(x,y)关于x是偶函数,L₁是第一挂限 若积分域关于x轴对称. 则∫(L) f(x,y) ds = {0,若f(x,y)关于y是奇函数. {2∫(L₁) f(x,y) ds,若f(x,y)关于y是偶函数,L₁是第一挂限 若积分域关于y = x对称： 有∫(L) x² ds = ∫(L) y² ds 有∫(L) x ds = ∫(L) y ds 若积分域关于y = x面对称：(轮换对称性) 有∫(L) x² ds = ∫(L) y² ds = ∫(L) z² ds 有∫(L) x ds = ∫(L) y ds = ∫(L) z ds 第二类对坐标的曲线积分的算法： 若被积函数是参数方程x = x(t),y = y(t) 则∫(L) P(x,y)dx + Q(x,y)dy = ∫(a→b) { P[x(t),y(t)]x"(t) + Q[x(t),y(t)]y"(t) } dt 若被积函数是y = f(x) 则∫(L) P(x,y)dx + Q(x,y)dy = ∫(a→b) { P[x,f(x)] + Q[x,f(x)]f"(x) } dx 若曲线L能围成闭区域D,使用格林公式： 则∮(L) P(x,y)dx + Q(x,y)dy = ∫∫D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y ) dxdy 若曲线L不能围成闭区域,则可以添加线段使其能围成闭区域D,再使用格林公式： 则∫(L) + ∫(L1) + ∫(L2) + ... + ∫(LN) = Σ(k=1→N) ∫(L_k) = ± ∮(L+L1+L2+...) Pdx + Qdy 逆时针取 + 顺时针取 - 若要使用格林公式,而积分域D包含奇点时,则要加起被挖掉奇点部分,再使用格林公式： 被挖掉的L1部分通常是圆形或椭圆形. 即∫(L) + ∫(L1顺时针) = ∮(L+L1) ==> ∫(L) = ∮(L+L1) - ∫(L1顺时针) ==> ∫(L) = ∫(L1逆时针)、若前面部分的二重积分的值为0 若被积函数是三维的,可用斯托克斯公式. ∮(C) Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫Σ rotA * n dS = ∫∫Σ (∂R/∂y - ∂Q/∂z)dydz + (∂P/∂z - ∂R/∂x)dzdx + (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy 当被积函数为1时,第一类曲面积分就是求曲面的面积,对比二重积分只能求平面面积 ∫∫(Σ) dS = A(曲面面积)、自由度比第一类曲线积分大 ∫∫(Σ) f(x,y,z) dS,物理应用、例如曲面的质量、重心、转动惯量、流速场流过曲面的流量等 第二类曲面积分的应用有在单位时间六国曲面Σ的流量等等. 第一类曲面积分的算法： 对于xoy面,曲面Σ：z = z(x,y) ∫∫Σ f(x,y,z) dS = ∫∫D f[x,y,z(x,y)]√[1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²] dxdy 对于yoz面,曲面Σ：x = x(y,z) ∫∫Σ f(x,y,z) dS = ∫∫D f[x(y,z),y,z]√[1 + (∂x/∂y)² + (∂x/∂z)²] dydz 对于zox面,曲面Σ：y = y(x,z) ∫∫Σ f(x,y,z) dS = ∫∫D f[x,y(x,z),z]√[1 + (∂y/∂z)² + (∂y/∂x)²] dzdx 若积分域Σ关于zox面对称. 则∫∫Σ f(x,y,z) dS = {0,若f(x,y,z)关于x是奇函数 {2∫∫Σ₁ f(x,y,z) dS,若f(x,y,z)关于x是偶函数,Σ₁是第一挂限 若积分域Σ关于yoz面对称. 则∫∫Σ f(x,y,z) dS = {0,若f(x,y,z)关于y是奇函数 {2∫∫Σ₁ f(x,y,z) dS,若f(x,y,z)关于y是偶函数,Σ₁是第一挂限 若积分域Σ关于xoy面对称. 则∫∫Σ f(x,y,z) dS = {0,若f(x,y,z)关于z是奇函数 {2∫∫Σ₁ f(x,y,z) dS,若f(x,y,z)关于z是偶函数,Σ₁是第一挂限 若被积函数关于三个坐标面都对称：(轮换对称性) 有∫∫Σ x² dS = ∫∫Σ y² dS = ∫∫Σ z² dS = (1/3)∫∫Σ (x² + y² + z²) dS 第二类曲面积分的算法： 对于xoy面,曲面Σ：z = z(x,y) ∫∫Σ f(x,y,z) dxdy = ± ∫∫D f[x,y,z(x,y)] dxdy.上侧 + 下侧 - 对于yoz面,曲面Σ：x = x(y,z) ∫∫Σ f(x,y,z) dydz = ± ∫∫D f[x(y,z),y,z] dydz.前侧 + 后侧 - 对于zox面,曲面Σ：y = y(x,z) ∫∫Σ f(x,y,z) dzdx = ± ∫∫D f[x,y(x,z),z] dzdx.右侧 + 左侧 - 或者用三合一公式： ∫∫Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ± ∫∫D [ - P * ∂z/∂x - Q * ∂z/∂y + R ] dxdy.上侧 + 下侧 - 两类曲面积分之间的转换： ∫∫Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫Σ (Pcosα + Qcosβ + Rcosγ) dS 高斯公式：若Σ是封闭曲面的外侧 ∫∫Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∫Ω ( ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z ) dxdydz 若积分域Ω内包含奇点时,则要加起挖掉奇点部分(取内测)的积分,然后再使用高斯公式： 即∫∫Σ + ∫∫Σ1 = ∫∫(Σ+Σ1) = ± ∫∫∫Ω 得∫∫Σ = ± ∫∫∫Ω - ∫∫Σ1 外侧取 + 内测取 - 而第二类曲线积分/第二类曲面积分以物理应用为主要,而且是有"方向性"的,涉及向量范围了. 这两个比较复杂,概念又深了一层.
Q3：高手总结总结一下二重积分,三重积分,还有曲线积分,曲面积分它们的区别和用法.
我拿出之前回答过的文章26一个二重积分(定积分):只有一个自变量y=f(x)，当被积函数为1时，是直线的长度(自由度较大)(ab) dx=L(直线的长度)，当被积函数不为1时，是面积(规则) (a b) f (x)27它们是圆盘法：v= (a b) f (x) dx壳法；v=2(ab)xf(x)dx计算方法，包括交换积分法、极坐标法等28和定积分的联系就多了29不知道 ( ) (1/2) [a ()] d=a(极坐标中的平面面积)。0有两个自变量，z=f(x，y)。1当被积函数为1时，它是面积(较大自由度) (a b) .即利用直角坐标法、极坐标法、雅可比代换法等极坐标变换计算图形(规则)的体积和旋转体的体积(ab) (cd) dxdy=V(旋转体的体积):{x=rcos {y=rsin { ，最大值。2Rsin) r drd三重积分：当有三个自变量u=f(x，y，z)且被积函数为1时，即为体积，即旋转体的体积(最大自由度)(ab)(cd)(ef)dxdydz=v .具有物理意义的计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球坐标法， 雅可比代换法及其他极坐标变化(柱坐标):{ x=rcos{ y=rsin{ z=z { hrk {，最大范围：02。3 f(rcos，rsin，Z)r dzrd(球面坐标)极坐标变化：{ x=rsincos{ y=rsinsin{ Z=rcos{ hrk { ab，最大范围：0 { ，最大范围：0 2。4(hk) f(rsincos，rsinsin，rcos ) rsin drd d ，所以级别越高，能得到的空间范围越自由越广，但越复杂越难，限制也比上面两个少，提升了对空间的想象。5多重积分可以转化成几个定积分，每个定积分可以控制不同的拉伸方向。6比如a x b中f(x)和g(x)围成的面积，其中定积分计算f(x) g(x)的面积公式为(ab) [f(x)-g(x)] dx，但升级后的二重积分，面积公式为。7一个二重积分(定积分):投影到zox平面，Get z=x，让z=a-x=a，用圆壳法v=2RH=2(0a)xzdx=2(0a)xdx=2(1/4)[x]|(0a)。8要将z=x y投影到xoy平面，x y=a就是求 (d) (x y) dxdy，其中d是x y=av= (d) (x y) dxdy= (0 2) d 。9这一步，你会发现步骤和定积分=2 (1/4) [r] | (0 a)= a/2是一样的40三重积分：旋转体的体积，被积函数为141圆柱坐标切片法可以直接得到：dz:x y=zv=()dxdydz=(0a)dzdzdxdy=(0a)z dz=42dxdyz=(02)d(0a)r dr(ra)dz=2(0a)r(a-r)dr=2[ar/2-(1/4]43
说了这么多，我们再多说一点：如果你继续学习，你会发现计算(平面)面积和(曲面)体积比的公式很容易学，计算曲面的公式有“曲线积分”和“曲面积分”，分为“第一类”和“第二类”44当被积函数为1时，第一类曲线积分是计算45比较积分只能求直线长度(C) ds=L(曲线长度)46当被积函数不是1时，就是求以圆弧为底线的曲面的面积(C) f(x，y) ds=A(表面积)47当被积函数为1时，第一类曲面积分是求曲面的面积48与二重积分相比，我们只能求出平面面积 ( z) dS=a(表面积)，自由度大于第一类曲线积分，以及物理应用，如表面质量、重心、转动惯量、速度场通过表面的流速等49还有第二种曲线50
Q4：二重积分，三重积分，定积分，第二类曲线积分，还有什么积分的，一时想不起来了51
我拿出之前回答过的文章52一个二重积分(定积分):只有一个自变量y=f(x)，当被积函数为1时，是直线的长度(自由度较大)(ab) dx=L(直线的长度)，当被积函数不为1时，是面积(规则) (a b) f (x)53它们是圆盘法：v= (a b) f (x) dx壳法；v=2(ab)xf(x)dx计算方法，包括交换积分法、极坐标法等54和定积分的联系就多了55不知道 ( ) (1/2) [a ()] d=a(极坐标中的平面面积)56有两个自变量，z=f(x，y)57当被积函数为1时，它是面积(较大自由度) (a b) .即利用直角坐标法、极坐标法、雅可比代换法等极坐标变换计算图形(规则)的体积和旋转体的体积(ab) (cd) dxdy=V(旋转体的体积):{x=rcos {y=rsin { ，最大值58Rsin) r drd三重积分：当有三个自变量u=f(x，y，z)且被积函数为1时，即为体积，即旋转体的体积(最大自由度)(ab)(cd)(ef)dxdydz=v .具有物理意义的计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球坐标法， 雅可比代换法及其他极坐标变化(柱坐标):{ x=rcos{ y=rsin{ z=z { hrk {，最大范围：0259 f(rcos，rsin，Z)r dzrd(球面坐标)极坐标变化：{ x=rsincos{ y=rsinsin{ Z=rcos{ hrk { ab，最大范围：0 { ，最大范围：0 260(hk) f(rsincos，rsinsin，rcos ) rsin drd d ，所以级别越高，能得到的空间范围越自由越广，但越复杂越难，限制也比上面两个少，提升了对空间的想象61多重积分可以转化成几个定积分，每个定积分可以控制不同的拉伸方向62比如a x b中f(x)和g(x)围成的面积，其中定积分计算f(x) g(x)的面积公式为(ab) [f(x)-g(x)] dx，但升级后的二重积分，面积公式为63一个二重积分(定积分):投影到zox平面，Get z=x，让z=a-x=a，用圆壳法v=2RH=2(0a)xzdx=2(0a)xdx=2(1/4)[x]|(0a)64要将z=x y投影到xoy平面，x y=a就是求 (d) (x y) dxdy，其中d是x y=av= (d) (x y) dxdy= (0 2) d 65这一步，你会发现步骤和定积分=2 (1/4) [r] | (0 a)= a/2是一样的66三重积分：旋转体的体积，被积函数为167圆柱坐标切片法可以直接得到：dz:x y=zv=()dxdydz=(0a)dzdzdxdy=(0a)z dz=68dxdyz=(02)d(0a)r dr(ra)dz=2(0a)r(a-r)dr=2[ar/2-(1/4]69
说了这么多，我们再多说一点：如果你继续学习，你会发现计算(平面)面积和(曲面)体积比的公式很容易学，计算曲面的公式有“曲线积分”和“曲面积分”，分为“第一类”和“第二类”70当被积函数为1时，第一类曲线积分是计算71比较积分只能求直线长度(C) ds=L(曲线长度)72当被积函数不是1时，就是求以圆弧为底线的曲面的面积(C) f(x，y) ds=A(表面积)73当被积函数为1时，第一类曲面积分是求曲面的面积74与二重积分相比，我们只能求出平面面积 ( z) dS=a(表面积)，自由度大于第一类曲线积分，以及物理应用，如表面质量、重心、转动惯量、速度场通过表面的流速等75还有第二种曲线76
Q5：二重积分、三重积分、四类曲面曲线积分：这六种可以将所给域条件带入积分式子里的有哪些
我拿出之前回答过的文章77一个二重积分(定积分):只有一个自变量y=f(x)，当被积函数为1时，是直线的长度(自由度较大)(ab) dx=L(直线的长度)，当被积函数不为1时，是面积(规则) (a b) f (x)78它们是圆盘法：v= (a b) f (x) dx壳法；v=2(ab)xf(x)dx计算方法，包括交换积分法、极坐标法等79和定积分的联系就多了80不知道 ( ) (1/2) [a ()] d=a(极坐标中的平面面积)81有两个自变量，z=f(x，y)82当被积函数为1时，它是面积(较大自由度) (a b) .即利用直角坐标法、极坐标法、雅可比代换法等极坐标变换计算图形(规则)的体积和旋转体的体积(ab) (cd) dxdy=V(旋转体的体积):{x=rcos {y=rsin { ，最大值83Rsin) r drd三重积分：当有三个自变量u=f(x，y，z)且被积函数为1时，即为体积，即旋转体的体积(最大自由度)(ab)(cd)(ef)dxdydz=v .具有物理意义的计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球坐标法， 雅可比代换法及其他极坐标变化(柱坐标):{ x=rcos{ y=rsin{ z=z { hrk {，最大范围：0284 f(rcos，rsin，Z)r dzrd(球面坐标)极坐标变化：{ x=rsincos{ y=rsinsin{ Z=rcos{ hrk { ab，最大范围：0 { ，最大范围：0 285(hk) f(rsincos，rsinsin，rcos ) rsin drd d ，所以级别越高，能得到的空间范围越自由越广，但越复杂越难，限制也比上面两个少，提升了对空间的想象86多重积分可以转化成几个定积分，每个定积分可以控制不同的拉伸方向87比如a x b中f(x)和g(x)围成的面积，其中定积分计算f(x) g(x)的面积公式为(ab) [f(x)-g(x)] dx，但升级后的二重积分，面积公式为88一个二重积分(定积分):投影到zox平面，Get z=x，让z=a-x=a，用圆壳法v=2RH=2(0a)xzdx=2(0a)xdx=2(1/4)[x]|(0a)89要将z=x y投影到xoy平面，x y=a就是求 (d) (x y) dxdy，其中d是x y=av= (d) (x y) dxdy= (0 2) d 90这一步，你会发现步骤和定积分=2 (1/4) [r] | (0 a)= a/2是一样的91三重积分：旋转体的体积，被积函数为192圆柱坐标切片法可以直接得到：dz:x y=zv=()dxdydz=(0a)dzdzdxdy=(0a)z dz=93dxdyz=(02)d(0a)r dr(ra)dz=2(0a)r(a-r)dr=2[ar/2-(1/4]94
说了这么多，我们再多说一点：如果你继续学习，你会发现计算(平面)面积和(曲面)体积比的公式很容易学，计算曲面的公式有“曲线积分”和“曲面积分”，分为“第一类”和“第二类”95当被积函数为1时，第一类曲线积分是计算96比较积分只能求直线长度(C) ds=L(曲线长度)97当被积函数不是1时，就是求以圆弧为底线的曲面的面积(C) f(x，y) ds=A(表面积)98当被积函数为1时，第一类曲面积分是求曲面的面积99与二重积分相比，我们只能求出平面面积 ( z) dS=a(表面积)，自由度大于第一类曲线积分，以及物理应用，如表面质量、重心、转动惯量、速度场通过表面的流速等100还有第二种曲线101
Q6：格林公式是二重积分和第几类曲线积分的转化？高斯公式是三重积分和第几类曲面积分的转化？
哥们给你都说了吧：第一类曲线积分，可以通过将ds转化为dx或dt变成定积分来做，但是单纯的第一类曲线积分和二重积分没有关系，只有通过转化为第二类曲线积分后，要是满足格林公式或者斯托科斯公式条件，可以用公式转化为简单的曲面积分，再将曲面积分投影到坐标面上转化为二重积分来计算，这是第一类曲线积分和二重积分关系，但是第一类曲线积分和三重积分么有任何关系……第一类曲面积分，可以通过公式变换，将dS转化为dxdy，直接转化为二重积分来做，但是和三重积分没有任何关系，只有通过转化为第二类曲面积分，满足了高斯公式条件，才能用高斯公式转化为三重积分来计算曲线积分与定积分，曲面积分与二重积分的区别：曲面积分、曲线积分都是给定了特定的曲线或者曲面的方程形式，意思是在曲线上或曲面上进行积分的，而不是像普通的二重积分和定积分那样直接在xyz坐标上进行积分，所以要将第一类曲线积分，第一类曲面积分通过给定的方程形式变换成在xyz坐标进行积分，另外既然给定了曲线或曲面方程，就可以根据方程把一个量表示成其他的两个量的关系，因为是在给定的曲线或曲面方程上进行积分的，所以要满足给定的曲线或曲面的方程，所以各个量之间可以代换的，这个普通的定积分和二重积分不能这么做的……第一类曲线积分：对线段的曲线积分，有积分顺序，下限永远小于上限……求解时米有第二类曲线积分简单，需要运用公式将线段微元ds通过给定的曲线方程形式表示成x与y的形式，进行积分，这个公式书里面有的，就是对参数求导，然后再表示成平分和的根式……第二类曲线积分：对坐标的曲线积分，没有积分顺序，意思是积分上下限可以颠倒了……第一类曲线积分和第二类曲线积分的关系：可以用余弦进行代换，余弦值指的是线段的切向量，这个书本里面的，我就不写了第一类曲面积分：对面积的曲面积分，求解时要通过给定的曲面方程形式，转化成x与y的形式，这个公式书里面也有的，就是求偏导吧？然后表示成平方和根式的形式第二类曲面积分：对坐标的曲线积分，这个简单一些，好好看看就可以了两类曲面积分的联系：可以用余弦代换，但是这个余弦是曲面的法向量下面给出第一类曲线积分和第一类曲面积分的联系，方便你记忆：都是要转化成在xyz坐标面上的积分，都是平方和的根式形式，但是第一类曲线积分是对参数求导，第一类曲面积分是求偏导，为何都是平方和的根式形式？原因是在微段或微面上用直线代替曲线，相当于正方体求对角线，你想想是不是，肯定要出现平方和的根式，好看看推导过程……第二类曲线积分与第二类曲面积分的关系：第二类曲线积分如果封闭的话，可以用格林公式或斯托克斯公式化简第二类曲面积分如果封闭的话，可以用高斯公式进行化简这些东西很有趣的，你要学会对应的记忆啊…… 格林公式研究的是把平面第二类曲线积分转化为二重积分来做，但是要注意正方向的选取，以及平面单连通和平面复连通，有时需要取辅助线构成封闭曲线的，但是要计算辅助曲线的曲线积分，因为此时的格林公式值是由两条曲线叠加后产生的，这个很重要，因为积分与路径无关都要涉及到平面复连通和单连通的计算……